Analytická geometria lineárnych útvarov Rovina Analytická geometria lineárnych útvarov

Čím je rovina určená rovinu z rovnobežných rovín určuje pevný bod pevným bodom (A) 2 smerovými vektormi (u,v) A u v rovinu z rovnobežných rovín určuje pevný bod

Ako rovinu vyjadriť parametrické vyjadrenie všeobecná rovnica roviny

Parametrické vyjadrenie roviny PVR: X = A + t.u + s.v, t,s R podľa súradníc: α:x = a1 + t.u1 + s.v1 y = a2 + t.u2 + s.v2 z = a3 + t.u3 + s.v3 A u v A[a1;a2;a3] u = (u1;u2;u3) v = (v1;v2;v3)

Príklad 1 α: x = 1 + 2t + 4s y = -3 – 4t + 1s z = 2 + 1t – 3s Napíšte PV roviny, ktorá prechádza bodom A[1,-3,2] a má smerové vektory u = (2,-4,1), v = (4,1,-3) α:x = a1 + t.u1 + s.v1 y = a2 + t.u2 + s.v2 z = a3 + t.u3 + s.v3 α: x = 1 + 2t + 4s y = -3 – 4t + 1s z = 2 + 1t – 3s

Príklad 2 α : x = 2 – 2t + s y = -4 + t + 2s z = 1 – 2t – s Napíšte PV roviny, ktorá prechádza bodmi A[2,-4,1], B[0,-3,-1], C[3,-2,0] α : x = 2 – 2t + s y = -4 + t + 2s z = 1 – 2t – s α :x = a1 + t.u1 + s.v1 y = a2 + t.u2 + s.v2 z = a3 + t.u3 + s.v3

Príklady Napíšte PV roviny, ktorá prechádza bodom F[-2,6,-1] a má smerové vektory u = (-8,9,3), v = (3,-5,6). Napíšte PV roviny, ktorá prechádza bodmi S[-3,3,-5], T[1,7,-6], R[-2,3,6]. Napíšte PV roviny, ktorá prechádza bodmi E[-1,0,2], F[3,-2,0], G[-2,1,1].

Príklady Napíšte PV roviny, ktorá prechádza bodom K[-2,0,-3] a je rovnobežná s rovinou α: x = 1 + 3t – 2s, y = 4 – 5t + 3s, z = 1 – 2t – 3s. Zistite, či body G[10,-11,0], H[-5,14,7] ležia v rovine α : x = 1 + 3t – 2s, y = 4 – 5t + 3s, z = 1 – 2t – 3s.

Príklady učebnica M5 riešené 79/Pr.68 – 71 neriešené 80/1 – 4

Všeobecná rovnica roviny u v pevným bod (A) normálový vektor (n) n A[a1; a2;a3] u = (u1;u2;u3) v = (v1;v2;v3) n = (a;b;c) VRR: ax + by + cz + d = 0 u  n  v  n

Ako určiť normálový vektor je kolmý na 2 rôzne smerové vektory  skalárny súčin smerového a normálového vektora je 0 treba nájsť tri čísla a, b, c také, aby to platilo

Príklad 3 Nájdite kolmý vektor na vektory: u = (2,1,0), v = (1,2,3) n = (a,b,c) Zvolíme napr. a = 1 Potom b = -2, c = 1 Normálový vektor je: n = (a,b,c) = (1,-2,1)

Príklad 4 Nájdite kolmý vektor na vektory: u = (-1,2,-3), v = (0,-1,1) n = (a,b,c) Zvolíme napr. c = 1 Potom a = -1, b = 1 Normálový vektor je: n = (a,b,c) = (-1,1,1)

Príklady Nájdite kolmý vektor na vektory: u = (2,-2,1), v = (0,1,-2)

Príklad 5 n = (a,b,c) sme určili v Príklade 4 Napíšte všeobecnú rovnicu roviny, ktorá má smerové vektory: u = (-1,2,-3), v = (0,-1,1) a v ktorej leží bod A[2,-3,4] n = (a,b,c) sme určili v Príklade 4 Normálový vektor je: n = (a,b,c) = (-1,1,1) Dosadíme za a, b, c do základného tvaru: Dosadíme súradnice bodu A za x, y, z

Príklad 6 Napíšte všeobecnú rovnicu roviny, ktorá má smerové vektory: u = (1,2,3), v = (0,0,1) a v ktorej leží bod A[1,4,-5] Normálový vektor je: n = (a,b,c) = (-2,1,0) Dosadíme za a, b, c do základného tvaru: Dosadíme súradnice bodu A za x, y, z

Príklad 7 Napíšte VR roviny, ktorá prechádza bodmi A[2,-4,0], B[-3,-1,1] a C[3,1,1] n = (1;-3;14)

Príklad 8 Napíšte VR roviny, ktorá má PV : x = 2 – 2t + s; y = 1 + 3t – 2s; z = t + 3s

Príklady Napíšte VR roviny, ktorá prechádza bodom F[-2,6,1] a je kolmá na vektor n = (-8,9,6). Napíšte VR roviny, ktorá prechádza bodom H[3,5,-7] a je rovnobežná s vektormi a = (0,2,-1) a b = (1,1,0). Napíšte VR roviny, ktorá je kolmá na priamku, ktorá prechádza bodmi S[-3,-3,1] a T[0,7,-6] a prechádza bodom T. Napíšte VR roviny, ktorá prechádza bodmi E[0,-1,4], F[4,5,0] a G[1,-2,3].

Príklady Napíšte VR roviny, ktorá má vyjadrenie : x = 4t + s; y = 4 + t; z = 1 + t – s. Napíšte súradnice aspoň troch bodov roviny, ktorá má rovnicu : 2x – 3y + z + 6 = 0 Nájdite aspoň tri vektory, ktoré sú rovnobežné s rovinou : x – y + 2z + 4 = 0 Napíšte parametrické vyjadrenie rovniny, ktorá má všeobecnú rovnicu : x – y + z + 1 = 0

Príklady učebnica M5 riešené 82-83/Pr.72 - 76 neriešené 84/1 - 7

koniec