Pytagorova veta Autor: Matúš Halaj.

Prezentácia na tému: "Pytagorova veta Autor: Matúš Halaj."— Prepis prezentácie:

1 Pytagorova veta Autor: Matúš Halaj

2 Pytagorova veta Autor: Matúš Halaj

3 Obdobie pred Pytagorom
Pytagorova veta Čo je Pytagorova veta Obdobie pred Pytagorom Pytagoras Dôkazy Využitie Ukončiť prezentáciu

4 Čo je Pytagorova veta c2=a2+b2
Obsah štvorca zostrojeného nad preponou pravouhlého trojuholníka je rovný súčtu obsahov štvorcov zostrojených nad jeho odvesnami. Pytagorova veta platí aj obrátene Štvorce sa dajú nahradiť inými plošnými útvarmi b c a Späť na obsah

5 Obdobie pred Pytagorom
Pytagorova veta bola používaná oveľa skôr, ako sa Pytagoras narodil. Číňania poznali dôkaz Pytagorovej vety pre trojuholník s dĺžkami strán 3, 4 a 5 Späť na obsah

6 Obdobie pred Pytagorom
Pytagorova veta bola používaná oveľa skôr, ako sa Pytagoras narodil. Egypťania zostrojovali pravý uhol pomocou špagátu s 13 uzlami, z ktorého vytvorili pravouhlý trojuholník. Späť na obsah

7 Pytagoras starogrécky filozof, nábožensko-morálny reformátor, matematik, astronóm, akustik žil v 6. stor. pred Kristom pochádzal z ostrova Samos založil spolok Pytagorejcov Späť na obsah

8 Pytagoras To, že niečo funguje v konkrétnom prípade, neznamená, že to funguje vo všeobecnosti 32+42=52  a2+b2=c2 – hypotéza Pytagoras podložil túto hypotézu dôkazmi Späť na obsah

9 Dôkazy Pytagorovej vety
V súčasnosti existuje približne 300 dôkazov Späť na obsah

10 1. dôkaz S=4(1/2ab)+a2+b2= 2ab+a2+b2 S=4(1/2ab)+c2= 2ab+c2 = a2+b2=c2
Späť na obsah

11 2. dôkaz a2=c*ca b2=c*cb a2+b2=c*ca+c*cb=c*(ca+cb)=c*c=c2
α β a b c v ca cb A B C P Späť na obsah

12 3. dôkaz S= 2(1/2ab)+1/2c2= ab+1/2c2 = 1/2a2+1/2b2=1/2c2 a2+b2=c2
S=1/2(a+b)(b+a)=1/2(a2+2ab+b2)= 1/2a2+ab+1/2b2 Späť na obsah

13 4. dôkaz b*b a*a c*c a*c b*c b*a c*a a*b c*b A B C D Späť na obsah

14 Dôkaz obrátenej Pytagorovej vety
Majme trojuholník so stranami a, b, c, pre ktoré platí a2+b2=c2. Zostrojme ďalší trojuholník so stranami dĺžok a, b, ktoré zvierajú pravý uhol. Potom podľa Pytagorovej vety je prepona tohto trojuholníka dlhá c=√a2+b2, teda je rovnako dlhá ako tretia strana pôvodného trojuholníka. Čiže tieto trojuholníky majú rovnaké dĺžky všetkých troch strán, a teda sú zhodné. Vďaka tomu majú aj rovnako veľké uhly, a teda aj pôvodný trojuholník musí mať pravý uhol. Späť na obsah

15 Využitie Pytagorovej vety
Dĺžka uhlopriečky Späť na obsah

16 Využitie Pytagorovej vety
Konštrukcia úsečky s dĺžkou √n Späť na obsah

17 Využitie Pytagorovej vety
Vzdialenosť dvoch bodov v súradnicovej sústave dĺžka vektora A B xA xB yB yA y x Späť na obsah

18 Využitie Pytagorovej vety
Vzťah medzi funkciami sínus a kosínus (sin α)2+(cos α)2=1 (sin α)2+(cos α)2=a2/c2+b2/c2=(a2+b2)/c2=c2/c2=1 α β a c b A B C Späť na obsah

19 Ďakujem za pozornosť