Analytická geometria kvadratických útvarov

Prezentácia na tému: "Analytická geometria kvadratických útvarov"— Prepis prezentácie:

1 Analytická geometria kvadratických útvarov
Osová rovnica elipsy

2 Definícia elipsy Elipsa je množina všetkých bodov v rovine, ktorých súčet vzdialeností od daných dvoch rôznych pevných bodov je konštantný a je väčší ako vzdialenosť daných bodov. F1 F2 A D C B S X ukážka v Geogebre

3 Prvky elipsy S[m,n] – stred F1 F2 - ohniská A, B – hlavné vrcholy
C, D – vedľajšie vrcholy X[x,y] – ľubovoľný bod a = AS = BS - hlavná polos b = CS = DS - vedľajšia polos e =  F1 S =  F2 S excentricita(výstrednosť) v každej elipse platí vzťah medzi veľkosťami polosí a excentricitou odvodenie

4 Dôležité vzťahy zvolíme súradnicovú sústavu tak, aby jej začiatok bol v strede elipsy, x-ová os bola hlavná os elipsy a y-ová os bola vedľajšia os. súradnice význačných bodov budú: S[0,0] F1[-e,0], F2[e,0], A[-a,0], B[a,0], C[0,b], D[0,-b] F1 F2 A D C B e b a S

5 Osová rovnica elipsy Odvodenie
súčet vzdialeností ľubovoľného bodu X od ohnísk je 2a postupným odvodzovaním dostaneme rovnicu Tento vzťah nazývame osová rovnica elipsy

6 Osová rovnica elipsy Odvodenie
ak stred bude v ľubovoľnom bode súradnicovej sústavy Tento vzťah nazývame osová rovnica elipsy

7 Osová rovnica elipsy – riešené príklady
Napíšte osovú rovnicu elipsy, ktorá má stred v bode S a polosi a,b.

8 Osová rovnica elipsy – riešené príklady
Z osovej rovnice elipsy určte súradnice stredu a veľkosti polosí elipsy.

9 Príklady na precvičenie
Napíšte osovú rovnicu elipsy, ak: S[2,-4], a = 10, e = 8 S[-1,2], e = 4, b = 3 S[0,0], b = 3, |F1F2| = 6 Zistite všetky prvky elipsy, ak je elipsa daná rovnicou: 9x2 + 25y2 = 225 x2 + 4y2 = 100 4(x – 3)2 + 25(y + 1)2 = 100 3(x + 4)2 + 25(y – 5)2 = 75 Napíšte rovnicu elipsy, ktorá prechádza bodmi A[8,3], B[6,4] a stred má v začiatku súradnicovej sústavy. (riešenie)

10 koniec

11 Odvodenie 1 uvažujme bod A a jeho vzdialenosť od ohnísk
súčet vzdialeností je AF1+AF2 keďže platí AF1 = BF2 a AS= BS= a tak AF1+BF2= 2a uvažujme bod C a jeho vzdialenosť od ohniska F2 súčet vzdialeností je 2a od každého ohniska je vzdialenosť rovnaká a teda a trojuholník CSF2 je pravouhlý, platí v ňom pytagorova veta e2 + b2 = a2 späť

12 Odvodenie 2 S[0,0] F1[-e,0], F2[e,0], A[-a,0], B[a,0], C[0,b], D[0,-b]
e2 + b2 = a2 späť

13 Riešenie 3 Napíšte rovnicu elipsy, ktorá prechádza bodmi A[8,3], B[6,4] a stred má v začiatku súradnicovej sústavy. späť