optimálne programovanie Operačný výskum - optimálne programovanie

Riadenie, rozhodovanie Riadenie je permanentný proces, ktorý opakovane prebieha nasledovnými fázami: - získanie informácií o stave riadeného systému - spracovanie informácií - prijatie rozhodnutia - realizácia rozhodnutia na riadenom systéme.

Princíp rozhodovania Podstatou rozhodovania je výber jednej z viacerých možných alternatív, ktoré v súvislosti s riadením systému prichádzajú do úvahy. Každá alternatíva viaže na seba iné dôsledky, preto je dôležité v tejto fáze rozhodnúť sa pre takú alternatívu, ktorá sa v daných podmienkach javí ako najvýhodnejšia.

Metódy rozhodovania Metódy rozhodovania z aspektu využívania exaktných nástrojov delíme na: - subjektívne (praktická skúsenosť, profesionálny cit, intuícia a pod.) - objektívne (metódy operačného výskumu)

Operačný výskum, operačná analýza, EMM Metódy (disciplíny) operačného výskumu predstavujú súbor analyticko- matematických metód 1. matematické programovanie 2. štruktúrna analýza 3. aplikácie teórie grafov 4. teória zásob 5. teória hromadnej obsluhy 6. teória obnovy 7. teória strategických hier 8. stochastické procesy ale i ďaľšie disciplíny.

Ekonomicko-matematický model Každá úloha, ktorá je predmetom skúmania metód operačného výskumu, musí byť kvantifikovateľná a musí sa dať vhodne matematicky formulovať. Predpoklady: sú zadané určité podmienky, ktoré treba rešpektovať pri výbere rozhodnutia existujú nejaké kvantitatívne kritériá, ktoré umožňujú jednotlivé varianty rozhodnutia navzájom porovnávať. Matematické vyjadrenie podmienok a kritérií skúmanej ekonomickej reality sa nazýva ekonomicko-matematický model (ďalej EMM).

EMM predstavuje zjednodušené zobrazenie ekonomickej reality matematickými výrazovými prostriedkami.

Ekonomicko-matematické modely možno klasifikovať: a) podľa ekonomickej úrovne, na ktorej sa model zobrazuje na mikroekonomické a makroekonomické; b) podľa typu funkcií, ktoré popisujú vzťahy medzi prvkami na modely lineárne a nelineárne; c) podľa povahy predpokladaných vzťahov medzi veličinami na deterministické a stochastické; d) podľa schopnosti zobrazovať zmeny v čase na statické a dynamické; e) podľa požiadaviek kladených na kvalitu výsledného riešenia na optimalizačné a neoptimalizačné; f) podľa povahy vzťahov medzi subjektmi na konfliktné a nekonfliktné a podobne.

Postup riešenia rozhodovacích situácií využitím metód operačného výskumu 1. analýza východiskovej situácie a formulácia problému 2. klasifikácia problému 3. formalizácia problému prostredníctvom EMM a jeho kvantifikácia 4. riešenie EMM 5. analýza a interpretácia získaného riešenia 6. implementačná analýza a implementácia rozhodnutia

LINEÁRNE PROGRAMOVANIE Lineárne programovanie (ďalej LP) je najrozpracovanejšou disciplínou matematického programovania. Základy LP vznikli nezávisle na sebe na viacerých miestach a v rozličnom čase. V roku 1939 publikoval ruský matematik L. V. Kantorovič, nositeľ Nobelovej ceny za ekonómiu (1975), prácu “Matematické metódy pri riadení a plánovaní podniku”, v ktorej čiastočne formuloval problematiku ako úlohu LP. V roku 1941 vyšla práca Angličana F. Hitchcocka o dopravnej úlohe ako špeciálnom prípade LP. Uvedenému problému sa nezávisle venoval Američan T. C. Koopmans, nositeľ Nobelovej ceny za ekonómiu (1975), ktorý prácu publikoval v roku 1945. Na teoretickom rozvoji LP má najväčšiu zásluhu G. B. Dantzig, ktorý v roku 1947 publikoval algoritmus simplexovej metódy. V súvislosti s rozvojom LP je potrebné z veľkého počtu vedcov ešte spomenúť R. W. Fogela a D. C. Northa, nositeľov Nobelovej ceny za ekonómiu (1993), L. Hurwicza, C. Lemkeho, P. Wolfeho, A. Charnesa, ale i mnohých ďaľších.

EMM úlohy lineárneho programovania Rozhodovací problém matematicky vyjadriť ako úlohu LP: Definovať odpovedajúce neznáme veličiny Poznať obmedzenia, podmienky alebo ohraničenia, ktoré sa musia pri realizácii cieľa rešpektovať. sústava lineárnych rovníc alebo nerovníc typu “  ”, príp. “  ” sústava obmedzujúcich podmienok + podmienka nezápornosti premenných. Úlohou je nájsť také riešenie, ktoré je najlepšie z hľadiska cieľa, ktorý riešením problému sledujeme. matematická funkcia, ktorá má buď charakter maximalizácie alebo minimalizácie účelová (kriteriálna) funkcia Extrém účelovej funkcie hľadáme na oblasti, ktorú vymedzujú obmedzujúce podmienky. Úloha na viazaný globálny extrém. Ekonomicko-matematické modely úloh LP sú lineárne, deterministické a statické.

Ekonomicko-matematický model úlohy lineárneho programovania Všeobecný tvar ekonomicko-matematického modelu úlohy LP

Všeobecný tvar ekonomicko-matematického modelu úlohy LP

Všeobecný tvar ekonomicko-matematického modelu úlohy LP

Štandardný tvar ekonomicko-matematického modelu úlohy LP EMM úlohy LP vyjadrený v štandardnom tvare:

Štandardný tvar ekonomicko-matematického modelu úlohy LP Transformácia všeobecnej úlohy LP na úlohu v štandardnom tvare sa uskutočňuje pomocou tzv. doplnkových premenných, ktorými sa transformujú obmedzujúce podmienky v tvare nerovníc na podmienky v tvare rovníc rozšírením ľavej strany príslušnej nerovnice o doplnkovú premennú tak, že a) doplnková premenná je na ľavej strane nerovnice typu ≤ pripočítaná, b) doplnková premenná je na ľavej strane nerovnice typu ≥ odpočítaná.

Riešenia úlohy lineárneho programovania Riešiť úlohu LP vo všeobecnosti znamená nájsť na množine riešení obmedzujúcich podmienok úlohy a podmienok nezápornosti premenných extrém (maximum alebo minimum) účelovej funkcie. Riešenia, ktoré spĺňajú všetky obmedzujúce podmienky sa nazývajú prípustné riešenia. Prípustné riešenie (riešenia), v ktorom účelová funkcia nadobúda svoj extrém je riešenie optimálne.

Grafické riešenie úloh LP s dvoma premennými V rovine zobrazíme množinu bodov, ktoré predstavujú množinu prípustných riešení: Získame ich ako prienik množín riešení odpovedajúcich jednotlivým obmedzujúcim podmienkam v 1. kvadrante. Uvedené množiny riešení predstavujú v prípade obmedzujúcich podmienok typu nerovníc (, ) niektorú z polrovín, ktoré vymedzuje deliaca priamka. Ak je obmedzujúca podmienka rovnicou, množinu riešení predstavujú body na odpovedajúcej priamke. V súvislosti s hľadaním množiny prípustných riešení môžu nastať tri prípady: Sústava obmedzujúcich podmienok je konzistentná a jej riešením pri zohľadnení podmienok nezápornosti premenných sú body v 1. kvadrante ohraničenej konvexnej množiny s konečným počtom krajných bodov (priesečníky hraničných priamok odpovedajúcich jednotlivým podmienkam). Množina prípustných riešení tvorí v rovine tzv. konvexný mnohouholník (polyeder), prípadne v priestore konvexný mnohosten. Sústava obmedzujúcich podmienok je konzistentná a jej riešením pri zohľadnení podmienok nezápornosti premenných sú body v 1. kvadrante neohraničenej konvexnej množiny s konečným počtom krajných bodov. Sústava obmedzujúcich podmienok je nekonzistentná a množina prípustných riešení je prázdnou množinou. V prípade a) stanovíme optimálne riešenie (riešenia) tak, že určíme bod (body) množiny prípustných riešení, v ktorých nadobúda účelová funkcia požadovaný extrém (maximum). Za tým účelom zobrazíme gradient účelovej funkcie