Sústavy lineárnych rovníc Martin Adamec III.F

Sústavy n lineárnych rovníc s n neznámymi

Riešenie 2 lieárnych rovíc s 2 neznámymi Metódy riešenia: Dosadzovacia (substitučná) Sčítacia (adičná) Porovnávacia (komparačná) Grafická

Dosadzovacia (substitučná) metóda Vyjadrenie jednej neznámej z jednej rovnice a následné dosadenie za neznámu do druhej rovnice Najčastejšie sa využíva pri rovniciach, kde je koeficient pri jednej neznámej 1

Dosadzovacia (substitučná) metóda Príklad : Riešte sústavu rovníc s neznámymi x, y ∈ R. 2x- 3y =5 x - 2y =1 Riešenie: 2x - 3y =5 x=5/2+3/2y 5/2+3/2y-2y=5 y=3 x=7

Sčítacia (adičná) metóda Upravenie rovníc na základný tvar, následné vynásobenie rovníc koeficientmi aby po sčítaní rovníc jedna premenná vypadla. Sčítacia metóda sa využíva hlavne vtedy, keď je pri jednej neznámej v oboch rovniciach rovnaký koeficient

Sčítacia (adičná) metóda Príklad: Riešte sústavu rovníc s neznámymi x, y ∈ R. 2x- 3y =5 x - 2y =1 Riešenie: 2x - 3y =5/ · (-2) x - 2y =1/ · 3 -4x + 3x + 6y - 6y =3 – 10 x=7 y=3

Porovnávacia (komparačná) metóda Vyjadrenie rovnakej neznámej s oboch rovníc a ich následné porovnanie Táto metóda sa využíva najčastejšie pri rovniciach, s ktorých môžeme jednoducho vyjadriť rovnakú neznámu

Porovnávacia (komparačná) metóda Príklad : Riešte sústavu rovníc s neznámymi x, y ∈ R. 2x- 3y =5 x - 2y =1 Riešenie: 2x-3y=5 x=5/2+3/2y x-2y=1 x=1+2y 5/2+3/2y=1+2y y=3 x=7

Grafická metóda Vyjadrenie oboch rovníc grafom (priamkou), následné zakreslenie do rovnakej sústavy súradníc a zistenie prienikov Použitie je univerzálne, túto metódu však môžeme využiť aj keď je sústava 2 nelineárnych rovníc s 2 neznámymi

Grafická metóda Príklad : Riešte sústavu rovníc s neznámymi x, y ∈ R. Riešenie:

Riešenie sústav n lineárnych rovníc s n neznámymi, pre n>2 Metódy riešenia: Dosadzovacia metóda Gaussova eliminačná metóda Cramerovo pravidlo

Gaussova eliminačná metóda Úprava rovnice na trojuholníkový tvar Príklad : Riešte sústavu rovníc s neznámymi x, y ∈ R. x+4y+3z=18 2x-3y+2z=2 /+(-2.I) 3x+5y-z=10 /+(-3.I) Riešenie: -11y-4z=-34 /.(-7) -7y-10z=-44 /.11; +(-7.II)

Gaussova eliminačná metóda x+4y+3z =18 77y+28z=238 -82z=-264 z=3 y=2 x=1

Cramerovo pravidlo Vhodnou metódou na riešenie sústav n-rovníc s n-neznámymi sa javí v prípade, ak n<4. Pre n>3 je vhodnejšou metódou Gaussova eliminačná metóda. Príklad : Riešte sústavu rovníc s neznámymi x, y ∈ R. 2x - 3y + 2z =2 -x - 4y - 3z =-18 3x + 5y - z =10

Cramerovo pravidlo

Ďakujem za pozornosť!