Poistná Matematika
3. ZÁKLADNÉ POJMY V POISTENÍ OSÔB - Poisťovateľ - prevádzkovateľ poistenia - Poistník - osoba, ktorá s poistiteľom uzavrela zmluvu a má povin- nosť platiť poistné - Poistenec - osoba, na ktorej život a zdravie sa poistka vzťahuje - Oprávnená osoba - osoba, ktorá má právo na výplatu poistného plnenia podľa poistnej zmluvy Najčastejšie druhy poistenia: p. pre prípad smrti - PU je smrť poisteného p. pre prípad dožitia - PU je dožitie dohodnutého veku poisteným zmiešané p. - PU je smrť alebo dožitie dohodnutého veku poisteným dôchodkové p. - špec. prípad p. pre prípad dožitia s pravidelne sa opakujúcim poistným plnením vo forme dôchodku Poistné plnenie: jednorazové (kapitálové poistenie) dôchodok (dôchodkové poistenie)
Poistné: jednorazové (pri uzavretí zmluvy) bežné (pravidelné splátky konštantnej výšky - zľavy pri menšej frekvencii platieb) nettopoistné - kryje poisťovni náklady na poistné plnenie bruttopoistné - nettopoistné + správne náklady a bezp. prirážky valorizované - výška splátok rastie, najčastejšie podľa inflácie Pri neplatení poistného: - pokračovanie s redukovanou poistnou čiastkou (nie nutne zánik) - niekedy odpustenie splátok (invalidita, ...) Podiel na zisku: - rozdelovanie zisku, ktorý poisťovňa dosiahne investovaním rezerv nad rámec poistno-tech. úr. miery
Poistenie viacerých životov: poistné plnenie závisí na živote (smrti) viacerých osôb - napr. vdovský, sirotský dôchodok Skupinové poistenie: dojednané hromadne pre skupinu osôb zľavy - jednoduchšia administratíva Združené poistenie: kryje viac rizík v rámci jednej poistnej zmluvy - napr. + úrazové pripoistenie Zaisťovanie: je poistenie poisťovne formou prenesenia časti rizík na zaisťovňu za cenu odstúpenia časti inkasovaného poistného - Műnchener Rűck, Swiss Re (insurance)
Základné princípy v životnom poistení Princíp ekvivalencie Princíp fiktívneho súboru Poistno-technická úroková miera Výpočtové predpoklady - aktuárska bázu: úroková miera, úmrtnostné tabuľky a náklady poisťovne Podiely na zisku Poistná rezerva životného poistenia Indexácia poistenia (dynamizácia; indexation)
MODELOVanie ÚMRTNOSTI Dľžka života: náhodná premenná T0 F0(t) = P(T0<t) Funkcia prežitia S0(t) = P(T0>t) = l-F0(t) budouca dľžka života ve veku x: Tx = T0 — x Fx(t) = P (Tx < í) = P (To < x + í|T0 > x} Sx(t) = P(Tx>t) = P(T0>x + í|T0 > x)
1. ÚMRTNOSTNÉ TABUĽKY - základný nástroj pre výpočty v poistení osôb - obsahujú odhady pravdepodobnosti úmrtia mužov a žien jednotlivých vekov - obsahujú: - vek osôb - pravdepodobnosť úmrtia vo veku x ... qx - pravdepodobnosť dožitia sa veku x+1 vo veku x ... px=1-qx - počet dožívajúcich sa veku x ... lx - počet zomierajúcich práve vo veku x ... dx - počet rokov prežitých osobami vo veku x ... Lx - počet zostávajúcich rokov života vo veku x ... Tx - stredná dĺžka života vo veku x ... ex - pravdepodobnosť úmrtia do n rokov od veku x ... nqx - pravdepodobnosť dožitia sa veku x+n vo veku x ... npx=1-qx
2. KOMUTAČNÉ ČÍSLA - pomocné hodnoty, ktoré vznikajú diskontovaním hodnôt z úmrtnostných tabuliek - najdôležitejšie sú: - diskontovaný počet dožívajúcich sa veku x ... Dx = lx vx - diskontovaný počet zomrelých vo veku x ... Cx= dx vx+1
Rozdelenie úmrtnostných tabuliek úplné skrátené bežné generačné
Zákony úmrtnosti De Moivreov zákon úmrtnosti Gompertzov Makehamov Weibullov zákon
Vyrovnávanie úmrtnostných tabuliek Metódy vyrovnávania úmrtnostných tabuliek a) grafické metódy, b) mechanické vyrovnávanie, c) analytické vyrovnávanie d) splinové metódy.
Súčasná hodnota poistenia: je súčasná hodnota očakávaných čiastok, ktoré bude musieť poisťovňa v rámci poistenia vyplatiť - určuje sa z prijatej úmrtnostnej tabuľky - diskontovanie pomocou prijatej poistno-technickej úr. miery v čase uzavretia poistnej zmluvy - je zároveň jednorázovým nettopoistným Jednotková súčasná hodnota poistenia: je súčasná hodnota poistenia pre jednotkovú čiastku alebo jednotkový dôchodok
Poistenie pre prípad dožitia - poisťovňa vyplatí dohodnutú sumu, ak sa osoba vo veku x (pri uzatváraní poistenia) dožije konca dohodnutej doby n rokov - v prípade úmrtia poistenie zanikne bez náhrady - pre jeho jednotkovú súčasnú hodnotu platí vzťah:
Poistenie pre prípad smrti - poisťovňa vyplatí dohodnutú sumu na konci roku, v ktorom poistená osoba zomrie - poistená osoba bola vo veku x pri uzatváraní poistenia - pre jeho jednotkovú súčasnú hodnotu platí vzťah:
Dočasné poistenie pre prípad smrti - poisťovňa vyplatí dohodnutú sumu na konci roku, v ktorom poistená osoba zomrie (počas dohodnutej doby n rokov) - poistená osoba bola vo veku x pri uzatváraní poistenia - pri dožití sa konca n. roku poistenie zaniká bez náhrady - napr. poistenie pre prípad úveru - pre jeho jednotkovú súčasnú hodnotu platí vzťah:
Odložené poistenie pre prípad smrti - poisťovňa vyplatí dohodnutú sumu na konci roku, v ktorom poistená osoba zomrie, povinnosť poistného plnenia je ale odložená o k rokov - ak poistená osoba zomrie počas odkladu, nemá nárok na plnenie - poistená osoba bola vo veku x pri uzatváraní poistenia - pre jeho jednotkovú súčasnú hodnotu platí vzťah:
Odložené dočasné poistenie pre prípad smrti - poisťovňa vyplatí dohodnutú sumu na konci roku, v ktorom poistená osoba zomrie (počas dohodnutej doby n+k rokov), ale plnenie je odložené o k rokov - poistená osoba bola vo veku x pri uzatváraní poistenia - pri dožití sa konca n+k. roku poistenie zaniká bez náhrady - pri smrti počas doby odkladu poistenie zaniká bez náhrady - pre jeho jednotkovú súčasnú hodnotu platí vzťah:
Zmiešané poistenie - poisťovňa vyplatí dohodnutú sumu na konci roku, v ktorom poistená osoba zomrela, alebo pri dožití sa konca n rokov - poistená osoba bola vo veku x pri uzatváraní poistenia - pre jeho jednotkovú súčasnú hodnotu platí vzťah: - vyskytuje sa v rôznych obmenách
BEŽNÉ NETTOPOISTNÉ - v praxi sa stretávame často s prípadmi platenia poistného nie jednorazovo, ale v pravidelne sa opakujúcich splátkach konštantnej alebo premenlivej výšky - ročné nettopoistné so splátkami vo výške P na jednotkovú poistnú čiastku alebo dôchodok, ktoré platíme vždy začiatkom roka, možno považovať za dôchodok, ktorý platí poistený poistiteľovi
BRUTTOPOISTNÉ Bruttopoistné je nettopoistné rozšírené o zložky, ktoré slúžia na pokrytie správnych nákladov poisťovne (prípadne o bezpečnostnú prirážku). Typy správnych nákladov: 1. jednorazové počiatočné náklady - označujeme a - ide o náklady spojené s predajom poistného produktu (provízia poisťovacím agentom), vstupná lekárska prehliadka, a podobne - počítajú sa ako percentá z poistnej čiastky alebo z ročného dôchodku 2. bežné správne náklady - označujeme b - ide o každoročne sa opakujúce náklady počas trvania poistenia, ktoré sú spojené s jeho udržovaním (administratíva, prevádzka výpočtovej techniky, korešpondencia s klientom, ...)
- rozlišujeme správne náklady počas celého trvania poistenia - b1 a správne náklady počas platenia poistného b2 3. inkasné náklady - označujeme g - ide o náklady spojené s inkasovaním poistného (týkajú sa hlavne poistných produktov s bežným poistným) - počítajú sa ako percentá z ročného (jednorazového) bruttopoistného 4. náklady spojené s vyplácaním dôchodku - označujeme d - týkajú sa iba poistných produktov s výplatou dôchodku - počítajú sa ako percentá z ročného dôchodku 5. jednotná správna prirážka - označujeme e - zlučuje všetky predchádzajúce typy správnych nákladov - počíta sa ako percentá z bruttopoistného
POISTNÁ REZERVA - niektoré poistné produkty každoročne spotrebujú vybrané poistné presne, pri iných vzniká v prvých rokoch prebytok (urob príklad) - úmrtnosť rastie s vekom - rástli by poistné sumy klientov - aby sa zamedzilo rastu poistného, poisťovňa vytvára z vybraných nespotrebovaných peňazí rezervu - rôzna výška pre rôzne typy poistení - je to teda suma, ktorú musí nazhromaždiť poisťovňa z prebyt- kov v prvých rokoch poistenia (a z úrokov z nich), aby bola v budúcnosti schopná plniť svoje záväzky voči klientom - výpočet - retrospektívny alebo prospektívny
Výpočet netto rezervy Vysvetlivky: x vstupný vek poistenej osoby n poistná doba nPx ročné netto poistné t rok, na konci ktorého počítame rezervu at poistné plnenie pri dožití sa konca t-ho roku bt poistné plnenie pri smrti počas t-ho roku
ODSTUPNÉ - pri niektorých poistných produktoch sa v prípade zrušenia poistenia klientom vyplatí klientovi väčšina z vytvorenej poistnej rezervy formou odstupného - väčšinou závisí aj od dĺžky trvania poistenia - väčšinou sa počíta ako % z brutto rezervy
REDUKCIA - pri niektorých poistných produktoch (zväčša rezervotvorných) sa v prípade neplatenia poistného klientom poistenie nezruší, ale zredu- kuje sa poistná suma - zväčša odstupné považujeme za jednorázové poistné pre zvyšok poistnej doby Napr. pri zmiešanom poistení: tRx redukovaná poistná čiastka po t rokoch tOx odstupné, na ktoré má klient nárok po t rokoch
Podiel na zisku - skutočné hospodárske výsledky poisťovne sú zväčša oveľa lepšie v prospech poisťovne ako kalkulované (úmrtnostné tabuľky, prevádzkové náklady, miera zisku, ...) - vzniká zisk - časť z neho môže poisťovňa vrátiť klientom vo forme podielu na zisku - formy distribúcie podielu na zisku klientom: - priama každoročná výplata - zľava na bežnom poistnom - zvláštna prémia vyplatená spolu s poistným plnením - úročené sporenie v prospech klienta platené z podielov na zisku - skrátenie poistnej doby - ďalšie poistenie platené z podielov na zisku