Finančná matematika

Peniaze, úrok Peniaze sú univerzálne platidlo a slúžia ako všeobecný ekvivalent tovaru. Z ekonomického hľadiska majú peniaze časovú hodnotu s klesajúcim trendom , t.j. peniaze sa časom znehodnocujú. Súčasná dispozícia peňažných zdrojov sa vždy cenila viac, ako dostupnosť tých istých zdrojov v budúcnosti, preto je prirodzené požadovať poplatok (úrok) za dočasné poskytovanie voľných finančných prostriedkov.

História peňazí a finančných trhov Peniaze: Prvýkrát v podobe kovových mincí v polovici 7. storočia p.n.l. v Malej Ázii. V Európe začali raziť mince v 6. storočí p.n.l. Gréci. Papierové peniaze až v 11. storočí n.l. v Číne. V súčasnosti – počítačové peniaze, ktoré existujú len ako elektronické údaje. Úrok: 3000 rokov p.n.l. požičiavali starovekí Sumeri obilie na 33% úrok, striebro na 20% úrok. panovník starovekého Babylonu Chamurabi vydal v roku 1800 p.n.l. zákonník, ktorý reguloval aj finančné transakcie v Babylone.

História peňazí a finančných trhov Prvé obchodné banky vznikli v 6. storočí p.n.l. a poskytovali úvery pri úrokovej miere 10 až 20%. V oblasti stredozemného mora námorné pôžičky, zaistené loďou alebo lodným nákladom. Úroková miera 30%, v prípade vojnového konfliktu alebo rozšírenia pirátstva vystúpila na 60 až 100%. V 4. storočí p.n.l. boli rozšírené v Grécku dobre zaistené pôžičky na nízke 6%-né úroky. V 3. st. p.n.l. bola stanovená rímskymi zákonmi maximálna hranica úrokov na 8 1/3%. Neskôr sa zvýšila na 12% a ostala rovnaká počas niekoľkých storočí. Začiatkom nášho letopočtu Doktrína nemorálnosti úrokovania pôžičky, označovaná ako úžerníctvo, ovplyvnila vývoj finančníctva na ďalších 1000 rokov.

História peňazí a finančných trhov Obchodné aktivity začali narastať až v 12. storočí n.l. a prispeli k rozvoju bankovníctva. Doktrína úžerníctva sa nahradila doktrínou kompenzácie veriteľa za poskytované finančné prostriedky, ale maximálna hranica úrokovej mieri bola len 5%. V priebehu 12. a 13. storočia sa rozšírili dva druhy dlhodobých cenných papierov: Census – predchodca hypotéky Benátske štátne obligácie V Západnej Európe začína v 12. storočí n.l., obchodovanie s krátkodobými cennými papiermi, z dlhodobých cenných papierov - vládne obligácie a hypotéky na nehnuteľnosti. príklad rodina Medici vo Florencii

História peňazí a finančných trhov prvá banka založená vládou v roku 1654 anglická národná banka „The Bank of England“ idea vlastniť akcie pochádza zo 17. storočia. vznik Akciovej burzy v Londýne v roku 1773 „Stock of Exchange“. V 18. storočí sa centrom finančníctva stal Amsterdam. Zlatou érou financií bolo 19. storočie - Priemyselná revolúcia Londýn nahradil Amsterdam v úlohe hlavného svetového finančného centra. Vznikali ďalšie tipy finančných inštitúcií napr. sporiteľne, stavebné a úverové spoločnosti.

História peňazí a finančných trhov 20. storočie - rozptýlenie finančnej moci, dôraz na personálne financie a vznik nových finančných nástrojov. Centrum svetového finančníctva do USA - úrokové miery na začiatku storočia boli nízke, min. 3%, na relatívne nízkej úrovni až do roku 1965. v 70. rokoch – obdobie dramatických zmien: internacionalizácia trhov a troma svetovými krízami dlžníkov. vznik nových pravidiel a finančných derivátov (opcie, futurity, swapy), ochrana pred nepriaznivým vývojom trhu obmedzovaním a riadením finančných rizík. trend vývoja úrokových mier. Po náhlom náraste (až na 16%) začiatkom 80. rokov nastal začiatkom 90. rokov ich prudký pokles.

História peňazí a finančných trhov Súčastnosť: finančné trhy sú medzinárodné. poznačené americkou hypotekárnou krízou - značná nestabilitu. výhoda organizovaného medzinárodného finančného trhu je jednoduchosť a rýchlosť komunikácie s prístup k finančným informačným zdrojom. Najväčšie finančné centrá na svete New York, London, Hong Kong, Singapure, Zurich, a Tokio

Základné pojmy Finančnej matematiky Kapitál (istina) Úrok Riziko Úroková obdobie/perióda: ročná – per annum p.a. polročná – per semestrem p.s. mesačná – per mensem p. m. týždenná – per septimanam p.sept. Úrokovanie Dekurzívnom (polehotnom) úrokovaní Anticipatívnom (predlehotnom) úrokovaní

6 % úroková miera = úroková sadzba 0,06 ÚROKOVÉ SADZBY 6 % úroková miera = úroková sadzba 0,06 DISKONTNÁ SADZBA MEDZINÁRODNÁ ÚROKOVÁ SADZBA LIBOR - Lodnon Interbank Offer Rate PRIBOR - Praha BRIBOR - Bratislava LIBID - London Interbank Bid Rate

JEDNODUCHÉ ÚROKOVANIE u = K0 * i * n u = K0 * (p / 100) * n K0 – súčasná hodnota kapitálu Kn – budúca hodnota kapitálu i = p/100 – ročná úroková sadzba p – úroková miera n – doba splatnosti v rokoch t – doba splatnosti v dňoch

štandardy pre stanovenie doby splatnosti ordinarna bankova metoda n = t/365 presna, exaktna metoda n = t/360 ACT 30E 30A štandard ACT/365 (anglická metóda) štandard ACT/360 (francúzska či medzinárodná metóda) štandard 30E/360 (nemecká či obchodná metóda)

Úrokové číslo resp.

Dm  Dob Diskontovanie Matematický diskont: = = = = Obchodný (bankový) diskont Dm  Dob

Skonto Sk - absolútna výška skonta rsk - skonto vyjadrené v percentách PC - predajná cena

ZLOŽENÉ ÚROKOVANIE začiatok 1.úrokovej periódy K0 koniec 1. K1= K0+ i* K0 = K0(1+i) koniec 2. K2= K1+ i* K1 = K1(1+i) = K1(1+i)^2 . koniec n-tej Kn = K0 (1+i)^n

Konverzia m - počet období za rok za ktoré sa pripisujú úroky Polročná 2 Štvrťročná 4 Mesačná 12 Denná 365 (360)

Vzťah medzi jednoduchým a zloženým úrokovaním 0 < n < 1 K0 (1 + i*n) > K0 (1 + i)^n n = 1 K0 (1 + i*n) = K0 (1 + i)^n = K0 (1 + i) n > 1 K0 (1 + i*n) < K0 (1 + i)^n

zmiešané úročenie

Princíp finančnej ekvivalencie ie - efektivna urokova sadzba; i - ročna urokova sadzba; m - počet urokovych obdobi, tzn. m-krat za rok su pripisovane uroky,

REÁLNA ÚROKOVÁ MIERA

Spojité úrokovanie = δ - úroková intenzita (úroková sadzba spojitého úrokovania)

Zložené diskontovanie Matematický diskont: Dm = Kn - K0 = = Obchodný diskont: