Dynamika sústavy HB (SHB)

Ťažisko sústavy hmotných bodov a telesa predpoklady: sústava 2 HB (telies): 𝑚 1 , 𝑚 2 2 hmotné body (telesá) – pevne spojené ⟹ 𝐹 int =0 𝐹 int - vnútorná interakčná sila Podmienky rovnováhy: sústava je umiestnená v gravitačnom poli 𝐹 1 , 𝐹 2 - gravitačné sily sústava je v pokoji, ak pôsobia na hmotný bod rovnako veľké sily opačného smeru

Sústavu upevníme v bode A.  Sústava je v pokoji, ak výslednica všetkých vonkajších síl, ktoré na sústavu pôsobia, je nulová 𝐹 i =0. Sústavu upevníme v bode A. miera otáčavého účinku M bude tým väčšia, čím je vzdialenosť miesta upevnenia od ťažšieho závažia 𝑟 2 väčšia a čím je závažie ťažšie a čím je vzdialenosť 𝑟 1 od ľahšieho závažia menšia a závažie je ľahšie. 𝑀= 𝑟 2 𝐹 2 − 𝑟 1 𝐹 1

Vektorový zápis: 𝑀 = 𝑟 × 𝐹 ak uhol 𝛼≠90° , potom na otáčavý účinok má vplyv len tá zložka sily, ktorá je na polohový vektor kolmá. Platí: 𝑀=𝑟 𝐹 ⊥ =𝑟𝐹 sin 𝛼 Vektorový zápis: 𝑀 = 𝑟 × 𝐹 𝑀 - moment sily (jednotka: Nm) Všeobecne platí, že sústava je v pokoji, ak výslednica momentov všetkých síl je nulová: 𝑀 i =0 Bod na tyči, kde treba sústavu upevniť, aby bola splnená táto podmienka, sa chová tak, ako keby v ňom bola sústredená celá hmotnosť sústavy - tento bod nazývame ťažiskom sústavy.

= 𝑟 1 + 𝑟 2 − 𝑟 T 𝑚 2 𝑚 1 ⟹ 𝑟 T = 𝑚 1 𝑟 1 + 𝑚 2 𝑟 2 𝑚 1 + 𝑚 2 Výpočet ťažiska: momenty síl: 𝑀 1 = 𝑚 1 𝑔𝑎 sin 𝜋 2 , 𝑀 2 = 𝑚 2 𝑔𝑏 sin 𝜋 2 . 𝑀 1 = 𝑀 2 ⟹ 𝑎 𝑏 = 𝑚 1 𝑚 2 ⟹ 𝑚 1 𝑎= 𝑚 1 𝑏⟹𝑎= 𝑚 2 𝑚 1 𝑏 𝑟 T = 𝑟 1 + 𝑎 = 𝑟 1 + 𝑏 𝑚 2 𝑚 1 = 𝑟 1 + 𝑟 2 − 𝑟 T 𝑚 2 𝑚 1 ⟹ 𝑟 T = 𝑚 1 𝑟 1 + 𝑚 2 𝑟 2 𝑚 1 + 𝑚 2 Analogicky pre n - bodov: 𝑟 T = i=1 𝑛 𝑚 i 𝑟 i i=1 𝑛 𝑚 i = 1 𝑚 i=1 𝑛 𝑚 i 𝑟 i Pre teleso so spojite rozloženou hmotnosťou platí 𝑟 T = 𝑟 𝑑𝑚 𝑑𝑚 = 1 𝑚 𝑟 𝑑𝑚 , kde - 𝑟 T je polohový vektor hmotnostného elementu telesa 𝑑𝑚 (ťažisko telesa môžeme brať ako HB).

Veta o hybnosti sústavy, veta o pohybe ťažiska, 1. veta impulzová Predpoklad: na sústavu hmotných bodov (HB) pôsobia vonkajšie sily, 𝑓 𝑖 = 𝑚 𝑖 𝑎 𝑖 - výslednica vonkajších síl pôsobiacich na i-tý HB. výslednica všetkých síl pôsobiacich na sústavu: 𝐹 = 𝑖 𝑓 𝑖 = 𝑖 𝑚 𝑖 𝑎 𝑖 = 𝑑 𝑑𝑡 𝑖 𝑚 𝑖 𝑣 𝑖 = 𝑑 2 𝑑 𝑡 2 𝑖 𝑚 𝑖 𝑟 𝑖 =𝑚 𝑑 2 𝑟 T 𝑑 𝑡 2 =𝑚 𝑎 T , pričom platí: 𝑖 𝑚 𝑖 𝑟 𝑖 =𝑚 𝑟 T .

𝐹 = 𝑑 𝑑𝑡 𝑖 𝑚 𝑖 𝑣 𝑖 = 𝑑 𝑑𝑡 𝑖 𝑝 𝑖 = 𝑑 𝑝 𝑑𝑡 =𝑚 𝑎 Veta o pohybe ťažiska: vektorový súčet všetkých síl pôsobiacich na sústavu sa rovná súčinu celkovej hmotnosti sústavy a zrýchlenia jej ťažiska, čo znamená, že ťažisko sústavy sa pohybuje ako častica hmotnosti m, na ktorú pôsobí výsledná sila F. Pre hybnosť platí: 𝑝 𝑖 = 𝑚 𝑖 𝑣 𝑖 𝐹 = 𝑑 𝑑𝑡 𝑖 𝑚 𝑖 𝑣 𝑖 = 𝑑 𝑑𝑡 𝑖 𝑝 𝑖 = 𝑑 𝑝 𝑑𝑡 =𝑚 𝑎 Veta o hybnosti sústavy (1. veta impulzová): vektorový súčet všetkých síl pôsobiacich na sústavu sa rovná prvej derivácii celkovej hybnosti sústavy podľa času. Ak 𝐹 = 𝑑 𝑝 𝑑𝑡 =0⟹ 𝑝 =𝑘𝑜𝑛š𝑡.⟹ zákon zachovania hybnosti pre sústavu častíc: v izolovanej sústave (na ktorú nepôsobia vonkajšie sily) je celková hybnosť sústavy konštantná.

Veta o momente hybnosti – 2. veta impulzová nech HB má hmotnosť 𝑚 𝑖 a pohybuje sa rýchlosťou 𝑣 𝑖 . Moment hybnosti 𝐿 𝑖 = 𝑟 𝑖 × 𝑚 𝑖 𝑣 𝑖 = 𝑟 𝑖 × 𝑝 𝑖 , kde 𝑟 𝑖 je polohový vektor HB hmotnosti 𝑚 𝑖 . platí: 𝑀 𝑖 = 𝑟 𝑖 × 𝑓 𝑖 = 𝑟 𝑖 × 𝑑 𝑚 𝑖 𝑣 𝑖 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑑𝑡 𝑟 𝑖 × 𝑚 𝑖 𝑣 𝑖 = 𝑑 𝐿 𝑖 𝑑𝑡 Sústava HB: 𝐿 = 𝑖 𝑟 𝑖 × 𝑚 𝑖 𝑣 𝑖 = 𝑖 𝐿 𝑖 𝑀 = 𝑖 𝑀 𝑖 = 𝑖 𝑑 𝐿 𝑖 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑑𝑡 𝑖 𝐿 𝑖 = 𝑑 𝐿 𝑑𝑡

Veta o momente hybnosti (2 Veta o momente hybnosti (2.veta impulzová): vektorový súčet všetkých momentov síl pôsobiacich na sústavu sa rovná prvej derivácii celkového momentu hybnosti sústavy podľa času. Ak celkový moment síl 𝑀 =0⟹ 𝑑 𝐿 𝑑𝑡 =0⟹ 𝐿 =𝑘𝑜𝑛š𝑡.⟹ Zákon zachovania momentu hybnosti: celkový moment hybnosti izolovanej sústavy hmotných bodov, pre ktorú sa výsledný moment síl rovná nule, ostáva konštantný - nemení sa.