Kinematika HB

1. Polohový vektor, rýchlosť, zrýchlenie HB Pohyb – zmena polohy telesa vzhľadom na iné teleso.   Hmotný bod (HB) – myslený objekt (model), ktorý z hľadiska vzájomného pôsobenia s inými objektmi má vlastnosti reálneho telesa, pričom jeho rozmery sú zanedbateľné. Poloha HB – v pravouhlej súradnej sústave – určená súradnicami x, y, z.

Pravouhlá pravotočivá súradná sústava  𝑧 𝑘 𝑖 𝑗 𝑥 𝑖 z 𝑦 𝑗 x 𝑘 y   𝑟   A Polohový vektor – 𝑟 =𝑥 𝑖 +𝑦 𝑗 +𝑧 𝑘 ak sa mení poloha s časom t - 𝑟 =𝑥 𝑡 𝑖 +𝑦 𝑡 𝑗 +𝑧 𝑡 𝑘 . 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 - jednotkové vektory ležiace na súradných osiach x, y, z s počiatkom v bode 0, - sú súhlasne orientované s kladným smerom osí. Veľkosť polohového vektora – 𝑟 =𝑟= 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 .

Iné typy súradných sústav Sférické súradnice: 𝑥=𝑟∙sin𝜗∙cos𝜑, 𝑦=𝑟∙sin𝜗∙sin𝜑, 𝑧=𝑟∙cos𝜗, pričom 𝑟∈ 0,𝑅 , 𝜑∈ 0, 2𝜋 , 𝜗∈ 0, 𝜋 . 𝑟 z    x y   A

Valcové súradnice: 𝑥=𝑟∙cos𝜑, 𝑦=𝑟∙sin𝜑, 𝑧=𝑧, pričom 𝑟∈ 0,𝑅 , 𝜑∈ 0, 2𝜋 , 𝑧∈ 0, ℎ . 𝑟 z x y    A h

Trajektória – sled polôh, ktoré HB v priestore postupne zaujíma. Dráha (s) – dĺžka trajektórie.  Hmotný bod môže prejsť jednu a tú istú dráhu za rôzny čas. Aby sme z tohto hľadiska jednotlivé pohyby navzájom rozlíšili a kvantitatívne hodnotili, zavádzame fyzikálne veličiny rýchlosť a zrýchlenie. Nech sa hmotný bod pohybuje po nejakej dráhe tak, že v čase t1 je v mieste A1 a jeho polohový vektor je 𝑟 1 . Za čas ∆𝑡= 𝑡 2 − 𝑡 1 prejde hmotný bod dráhu s, takže v čase t2 sa nachádza v mieste A2 a jeho polohový vektor je 𝑟 2 . A1 A2 𝑟 1 𝑟 2 ∆ 𝑟 ∆𝑠 𝑣 s

Priemerná (stredná) rýchlosť – 𝑣 s = ∆𝑠 ∆𝑡 , je veličina, ktorá sa číselne rovná dráhe, ktorú hmotný bod prešiel v priemere za jednotku času. Ak označíme ∆ 𝑟 = 𝑟 2 − 𝑟 1 a ∆𝑡= 𝑡 2 − 𝑡 1 a uvažujeme čoraz kratší časový interval ∆𝑡 (limitne až k nule), takže aj ∆ 𝑟 = 𝑟 2 − 𝑟 1 medzi bodmi A1 a A2 sa skracuje, potom hovoríme o okamžitej rýchlosti: 𝑣 = lim ∆𝑡→0 ∆ 𝑟 ∆𝑡 = 𝑑 𝑟 𝑑𝑡 . Okamžitá rýchlosť je prvou deriváciou polohového vektora v bode A1 podľa času. Rýchlosť má smer dotyčnice k dráhe pohybu v danom bode.

t0 platí ∆ 𝑟 =𝑑𝑠 →𝑣= 𝑣 = 𝑑 𝑟 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑟 𝑑𝑡 = 𝑑𝑠 𝑑𝑡 Vektor rýchlosti: 𝑣 = 𝑑 𝑟 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑑𝑡 𝑥 𝑖 +𝑦 𝑗 +𝑧 𝑘 = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑖 + 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑗 + 𝑑𝑧 𝑑𝑡 𝑘 = 𝑣 𝑥 𝑖 + 𝑣 𝑦 𝑗 + 𝑣 𝑧 𝑘 . súradnice vektora rýchlosti: 𝑣 𝑥 = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 , 𝑣 𝑦 = 𝑑𝑦 𝑑𝑡 , 𝑣 𝑧 = 𝑑𝑧 𝑑𝑡 .  Veľkosť vektora rýchlosti: 𝑣 =𝑣= 𝑣 𝑥 2 + 𝑣 𝑦 2 + 𝑣 𝑧 2 . Smer vektora rýchlosti možno tiež charakterizovať uhlami , , , ktoré zviera vektor rýchlosti so súradnými osami x, y, z: cos = vx /v, cos = vy /v, cos = vz /v.   Hlavnou jednotkou rýchlosti v SI sústave je ms-1.

Na kvantifikovanie zmeny rýchlosti v čase definujeme veličinu – zrýchlenie. Priemerné (stredné) zrýchlenie – 𝑎 s = ∆ 𝑣 ∆𝑡 . Okamžité zrýchlenie - 𝑎 = lim ∆𝑡→0 ∆ 𝑣 ∆𝑡 = 𝑑 𝑣 𝑑𝑡 = 𝑑 2 𝑟 𝑑𝑡 2 . Pre zložky vektora 𝑎 platí – 𝑎 = 𝑑 𝑣 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑣 𝑥 𝑑𝑡 𝑖 + 𝑑 𝑣 𝑦 𝑑𝑡 𝑗 + 𝑑 𝑣 𝑧 𝑑𝑡 𝑘 = 𝑑 2 𝑥 𝑑𝑡 2 𝑖 + 𝑑 2 𝑦 𝑑𝑡 2 𝑗 + 𝑑 2 𝑧 𝑑𝑡 2 𝑘 . 𝑎 = 𝑎 𝑥 𝑖 + 𝑎 𝑦 𝑗 + 𝑎 𝑧 𝑘 .

Súradnice vektora zrýchlenia: 𝑎 𝑥 = 𝑑 𝑣 𝑥 𝑑𝑡 = 𝑑 2 𝑥 𝑑𝑡 2 , 𝑎 𝑦 = 𝑑 𝑣 𝑦 𝑑𝑡 = 𝑑 2 𝑦 𝑑𝑡 2 , 𝑎 𝑧 = 𝑑 𝑣 𝑧 𝑑𝑡 = 𝑑 2 𝑧 𝑑𝑡 2 .   Pre veľkosť vektora zrýchlenia platí: 𝑎= 𝑎 = 𝑎 𝑥 2 + 𝑎 𝑦 2 + 𝑎 𝑧 2 . Pre smer vektora zrýchlenia platí: cos = ax /a, cos = ay /a, cos = az /a. Hlavnou jednotkou zrýchlenia v SI sústave je ms-2.

2. Niektoré jednoduché typy pohybov Podľa trajektórie priamočiare, krivočiare. Podľa rýchlosti rovnomerné, nerovnomerné.

→𝑣= 𝑣 0 + 𝑡 0 𝑡 1 𝑎 𝑡 𝑑𝑡 , 𝑠= 𝑠 0 + 𝑡 0 𝑡 1 𝑣 𝑡 𝑑𝑡 Priamočiare pohyby Vektor rýchlosti 𝑣 a vektor zrýchlenia 𝑎 ležia na spoločnej vektorovej priamke. Preto na vyjadrenie pohybu nám postačia skalárne rovnice. 𝑣= 𝑑𝑠 𝑑𝑡 , 𝑎= 𝑑𝑣 𝑑𝑡 = 𝑑 2 𝑠 𝑑𝑡 2 →𝑣= 𝑣 0 + 𝑡 0 𝑡 1 𝑎 𝑡 𝑑𝑡 , 𝑠= 𝑠 0 + 𝑡 0 𝑡 1 𝑣 𝑡 𝑑𝑡   𝑣 0 – počiatočná rýchlosť, 𝑠 0 – počiatočná poloha v čase 𝑡 0 = 0.

A) Rovnomerný priamočiary pohyb 𝑎=0 →𝑣=konšt. →𝑠= 0 𝑡 𝑣𝑑𝑡 + 𝑠 0 =𝑣𝑡+ 𝑠 0 𝑎 m s −2 𝑡 s 𝑣 m s −1 𝑠 m 𝑠 0 𝑣

B) Rovnomerne zrýchlený (spomalený) priamočiary pohyb 𝑎=𝑘𝑜𝑛š𝑡 B) Rovnomerne zrýchlený (spomalený) priamočiary pohyb 𝑎=𝑘𝑜𝑛š𝑡.≠0 → 𝑣= 𝑣 0 + 0 𝑡 𝑎𝑑𝑡 = 𝑣 0 +𝑎𝑡 →𝑠= 𝑠 0 + 0 𝑡 𝑣𝑑𝑡 = 𝑠 0 + 0 𝑡 𝑣 0 +𝑎𝑡 𝑑𝑡 𝑠= 𝑠 0 + 𝑣 0 𝑡+ 𝑎 𝑡 2 2 Ak 𝑎<0→ rovnomerne spomalený priamočiary pohyb 𝑣= 𝑣 0 − 𝑎 𝑡 𝑠= 𝑠 0 + 𝑣 0 𝑡− 𝑎 𝑡 2 2 .

𝑎 m s −2 𝑡 s 𝑣 m s −1 𝑠 m 𝑣 0 𝑎 𝑠 0 𝑎 𝑡 1 𝑎 m s −2 𝑡 s 𝑣 m s −1 𝑠 m 𝑣 0 𝑠 0

C) Nerovnomerne zrýchlený priamočiary pohyb 𝑎≠𝑘𝑜𝑛š𝑡. →𝑣= 𝑣 0 + 0 𝑡 𝑎 𝑡 𝑑𝑡 , 𝑠= 𝑠 0 + 0 𝑡 𝑣 𝑡 𝑑𝑡

pohyb s konštantným zrýchlením a = g, Špeciálne priamočiare pohyby - priamočiare pohyby s tiažovým zrýchlením pohyb s konštantným zrýchlením a = g, tiažové zrýchlenie g = 9,81 ms-2. voľný pád: 𝑣 0 =0, 𝑎=𝑔=9,81 m s −2 y h v0 = 0 s 𝑣 y A   V bode A: 𝑣 𝑦 =−𝑔𝑡 𝑗 , 𝑦=ℎ− 1 2 𝑔 𝑡 2 . Veľkosť rýchlosti a prejdená dráha: 𝑣=𝑔𝑡, 𝑠= 1 2 𝑔 𝑡 2 . Čas dopadu a rýchlosť dopadu vypočítame z podmienky: 𝑦=0.

- pohyb zvislo nadol s počiatočnou rýchlosťou 𝑣 0 , v bode A: B) Zvislý vrh nadol: 𝑣 0 ≠0, 𝑎=𝑔=9,81 m s −2 , - pohyb zvislo nadol s počiatočnou rýchlosťou 𝑣 0 , v bode A: rýchlosť: 𝑣 𝑦 =− 𝑣 0 +𝑔𝑡 𝑗 , 𝑣 𝑦 = 𝑣 0 +𝑔𝑡, súradnica: 𝑦=ℎ− 1 2 𝑔 𝑡 2 − 𝑣 0 𝑡, prejdená dráha: 𝑠= 1 2 𝑔 𝑡 2 + 𝑣 0 𝑡. y h s 𝑣 y A   𝑣 0

C) Zvislý vrh nahor: 𝑣 0 ≠0, 𝑎=𝑔=9,81m s −2 , rovnomerne spomalený priamočiary pohyb, bod A rýchlosť: 𝑣 𝑦 = 𝑣 0 −𝑔𝑡 𝑗 , 𝑣 𝑦 = 𝑣 0 −𝑔𝑡 , prejdená dráha: 𝑠=𝑦= 𝑣 0 𝑡− 1 2 𝑔 𝑡 2 . bod B – maximálne dosiahnutá výška: z podmienky 𝑣 𝑦 =0 vypočítame čas dosiahnutia maximálnej výšky 𝑡= 𝑣 0 𝑔 a po dosadení času do rovnice pre dráhu 𝑠 vypočítame maximálnu výšku: ℎ= 1 2 . 𝑣 0 2 𝑔 . s y hmax 𝑣 y A   𝑣 0 B

3. Krivočiary pohyb Vektor okamžitého zrýchlenia 𝑎 neleží na jednej vektorovej priamke s vektorom 𝑣 , preto ho v danom bode A rozložíme na dve zložky: - tangenciálne zrýchlenie 𝒂 𝝉 (v smere dotyčnice k dráhe – v smere (proti smeru) rýchlosti), - normálové alebo dostredivé zrýchlenie 𝒂 𝒏 (v smere do stredu krivosti dráhy – kolmo na vektor rýchlosti). 𝑎 = 𝑎 𝜏 + 𝑎 𝑛 , 𝑎= 𝑎 𝜏 2 + 𝑎 𝑛 2 𝑡𝑔 𝛼= 𝑎 𝑛 𝑎 𝜏 𝑣 𝜌 𝜏 𝑎 𝑛 𝑎    A 𝑎 𝜏 𝑎 𝜏 = 𝑎 𝜏 ∙ 𝜏 , 𝑎 𝑛 =− 𝑎 𝑛 ∙ 𝜌 , 𝜏 a 𝜌 sú jednotkové vektory, ktorých smer sa ale pohybom hmotného bodu mení.

Platí 𝑣 =𝑣∙ 𝜏 , potom 𝑎 = 𝑑 𝑣 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑣∙ 𝜏 𝑑𝑡 = 𝑑𝑣 𝑑𝑡 𝜏 +𝑣 𝑑 𝜏 𝑑𝑡 . 𝑎 𝜏 = 𝑑𝑣 𝑑𝑡 𝜏 , 𝑎 𝜏 = 𝑑𝑣 𝑑𝑡 , 𝑎 𝑛 =− 𝑣 2 𝑟 . 𝜌 , 𝑎 𝑛 = 𝑣 2 𝑟 . tangenciálne zrýchlenie spôsobuje zmenu veľkosti vektora rýchlosti, normálové zrýchlenie spôsobuje zmenu smeru vektora rýchlosti.

𝛼 = 𝑑 𝜔 𝑑𝑡 = 𝑑𝜔 𝑑𝑡 𝑛 = 𝑑 2 𝜑 𝑑𝑡 2 = 𝑑 2 𝜑 𝑑𝑡 2 𝑛 Uhlové veličiny používajú sa pri hodnotení krivočiareho pohybu. uhol 𝜑 , uhlová rýchlosť 𝜔 a uhlové zrýchlenie 𝛼 . Uhol je vektor, ktorého veľkosť je daná veľkosťou uhla a je orientovaný na tú stranu, z ktorej sa utváranie uhla javí proti pohybu hodinových ručičiek (v smere jednotkového vektora 𝑛 ): 𝑑 𝜑 =𝑑𝜑. 𝑛 Vektor okamžitej uhlovej rýchlosti (uhlová rýchlosť): 𝜔 = 𝑑 𝜑 𝑑𝑡 = 𝑑𝜑 𝑑𝑡 𝑛 , orientácia: smer vektora 𝑛 , jednotka: s-1 (rad.s-1) Vektor uhlového zrýchlenia (uhlové zrýchlenie): 𝛼 = 𝑑 𝜔 𝑑𝑡 = 𝑑𝜔 𝑑𝑡 𝑛 = 𝑑 2 𝜑 𝑑𝑡 2 = 𝑑 2 𝜑 𝑑𝑡 2 𝑛 orientácia: smer vektora 𝑛 , jednotka: s-2 (rad.s-2).

𝑣 𝜑 𝑛 𝑧 𝑦 𝑥 𝛼 𝜔 𝑑𝜑 𝑑𝑠 𝑠 𝑟 𝑟 ∗

Vzťahy medzi dráhovými a uhlovými veličinami Vychádzame zo vzťahu medzi prejdenou dráhou 𝑑𝑠 a jej náležiacemu stredovému uhlu 𝑑𝜑: 𝑑𝜑= 𝑑𝑠 𝑟 . Po predelení rovnice prírastkom času 𝑑𝑡, dostaneme: 𝑑𝜑 𝑑𝑡 = 1 𝑟 ∙ 𝑑𝑠 𝑑𝑡 , resp. 𝜔= 𝑣 𝑟 →𝑣=𝜔∙𝑟 𝑣 = 𝜔 × 𝑟   - vzťah medzi dráhovou a uhlovou rýchlosťou. 𝑎 = 𝑑 𝑣 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑑𝑡 𝜔 × 𝑟 = 𝑑 𝜔 𝑑𝑡 × 𝑟 + 𝜔 × 𝑑 𝑟 𝑑𝑡 = 𝛼 × 𝑟 + 𝜔 × 𝑣 ,   → 𝑎 = 𝛼 × 𝑟 + 𝜔 × 𝜔 × 𝑟 . tangenciálne zrýchlenie 𝑎 𝜏 = 𝛼 × 𝑟 𝑎 𝜏 =𝛼.𝑟 , normálové zrýchlenie 𝑎 𝑛 = 𝜔 × 𝜔 × 𝑟 𝑎 𝑛 = 𝜔 2 𝑟= 𝑣 2 𝑟 .

Krivočiare pohyby Pohyb po kružnici HB opisuje dráhu tvaru kružnice o polomere 𝑅= 𝑟 . Stredom kružnice kolmo k jej rovine prechádza tzv. os otáčania (rotácie).   𝑑𝜑= 𝑑𝑠 𝑟 , 𝜔= 𝑑𝜑 𝑑𝑡 , 𝛼= 𝑑𝜔 𝑑𝑡 → 𝜔= 𝜔 0 + 0 𝑡 𝛼𝑑𝑡 , 𝜑= 𝜑 0 + 0 𝑡 𝜔 𝑡 𝑑𝑡 .

1. Rovnomerný pohyb po kružnici 𝛼=0, 𝜔=konšt. →𝜑= 𝜑 0 + 0 𝑡 𝜔𝑑𝑡 = 𝜑 0 +𝜔𝑡. 𝜑 0 - integračná konštanta (počiatočný uhol).   𝛼 s −2 𝑡 s 𝜔 s −1 𝜑 𝜑 0 𝜔

obvodová rýchlosť 𝑣=𝜔𝑟 je konštantná, 𝑇=konšt. (T - perióda pohybu – čas jedného obehu) 𝑇= 𝑠 𝑣 = 2𝜋𝑅 𝑣 = 2𝜋 𝜔 frekvencia kruhového pohybu 𝑓= 1 𝑇 = 𝜔 2𝜋 . ak 𝑡>𝑇 (t - celkový čas pohybu) HB vykoná určitý počet otáčok N: 𝑁= 𝜑 2𝜋 = 𝑡 1 𝑡 2 𝑓𝑑𝑡 𝑎 𝜏 =0, 𝑎 𝑛 = 𝑣 2 𝑅 = 𝜔 2 𝑅→𝑎= 𝑎 𝑛  

2. Nerovnomerný pohyb po kružnici Rovnomerne zrýchlený pohyb po kružnici 𝛼=konšt.≠0 - ak 𝛼>0 𝛼<0 - rovnomerne zrýchlený (rovnomerne spomalený) pohyb po kružnici, →𝜔= 𝜔 0 + 0 𝑡 𝛼𝑑𝑡 = 𝜔 0 +𝛼𝑡, →𝜑= 𝜑 0 + 0 𝑡 𝜔𝑑𝑡 = 𝜑 0 + 0 𝑡 𝜔 0 +𝛼𝑡 𝑑𝑡 𝜑= 𝜑 0 + 𝜔 0 𝑡+ 1 2 𝛼 𝑡 2 . Počet otáčok do zastavenia: 𝑁= 𝜑 2𝜋 . → 𝑎 𝜏 =𝛼𝑅=𝑘𝑜𝑛š𝑡.≠0, 𝑎 𝑛 = 𝑣 2 𝑅 = 𝜔 2 𝑅, → 𝑎 = 𝑎 𝜏 + 𝑎 𝑛 , 𝑎= 𝑎 𝜏 2 + 𝑎 𝑛 2 .

- ak 𝛼<0 - rovnomerne spomalený pohyb po kružnici, →𝜔= 𝜔 0 + 0 𝑡 𝛼𝑑𝑡 = 𝜔 0 − 𝛼 𝑡, →𝜑= 𝜑 0 + 0 𝑡 𝜔𝑑𝑡 = 𝜑 0 + 𝜔 0 𝑡− 1 2 𝛼 𝑡 2 .

rovnomerne zrýchlený pohyb po kružnici Časové závislosti 𝛼, 𝜔, 𝜑 pre rovnomerne zrýchlený (rovnomerne spomalený) pohyb po kružnici 𝛼 s −2 𝑡 s 𝜔 s −1 𝜑 𝜔 0 𝛼 𝜑 0 rovnomerne zrýchlený pohyb po kružnici

rovnomerne spomalený pohyb po kružnici 𝛼 𝑡 1 𝛼 s −2 𝑡 s 𝜔 s −1 𝜑 𝜔 0 𝜑 0

B) Nerovnomerne zrýchlený pohyb po kružnici 𝛼≠konšt

Krivočiare pohyby s tiažovým zrýchlením vodorovný vrh - pohyb zložený z dvoch priamočiarych pohybov: - rovnomerný pohyb vo vodorovnom smere s rýchlosťou 𝑣 0 , - voľný pád. 𝑦 𝑥 ℎ 𝑣 0 𝑣 𝑣 𝑦 = 𝑔 𝑡 𝑥 D

- okamžitá rýchlosť HB: 𝑣 = 𝑣 0 𝑖 −𝑔𝑡 𝑗 , veľkosť rýchlosti 𝑣= 𝑣 0 2 + 𝑔 2 𝑡 2 . súradnice vektora rýchlosti 𝑣 𝑥 = 𝑣 0 , 𝑣 𝑦 𝑡 =𝑔𝑡, polohový vektor 𝑟 𝑡 =𝑥 𝑡 𝑖 +𝑦 𝑡 𝑗 súradnice polohového vektora 𝑥 𝑡 = 𝑣 0 𝑡, 𝑦 𝑡 =ℎ− 1 2 𝑔 𝑡 2 . uhol 𝛼 - tg𝛼= 𝑔𝑡 𝑣 0 , z podmienky dopadu HB 𝑦 𝑡 =0 vypočítame čas dopadu 𝑡 D , za ktorý teleso dopadne na zemský povrch - 𝑡 D = 2ℎ 𝑔 , miesto dopadu na osi 𝑥 - vodorovný dolet HB: 𝑥 D = 𝑣 0 2ℎ 𝑔 , rýchlosť pri dopade: 𝑣= 𝑣 0 2 +2𝑔ℎ .

pohyb HB vzhľadom na zemský povrch pod uhlom 𝛼, Šikmý vrh nahor pohyb HB vzhľadom na zemský povrch pod uhlom 𝛼, pohyb zložený z dvoch priamočiarych pohybov - rovnomerný pohyb rýchlosťou 𝑣 0𝑥 vo vodorovnom smere, - zvislý vrh nahor s počiatočnou rýchlosťou 𝑣 0𝑦 . 𝑥 D 2 𝑦 𝑥 ℎ max 𝑣 0𝑥 𝑣 𝑣 𝑦 𝑥 D 𝑣 0𝑦 𝑣 0 − 𝑣 0𝑦 𝑣 1 𝛼 A

⟹ HB sa pohybuje po parabole. vektor rýchlosti 𝑣 𝑡 = 𝑣 𝑥 𝑖 + 𝑣 𝑦 𝑡 𝑗 súradnice vektora rýchlosti 𝑣 𝑥 =𝑣 0 cos𝛼, 𝑣 𝑦 𝑡 = 𝑣 0 sin𝛼−𝑔𝑡 . veľkosť rýchlosti HB: 𝑣= 𝑣 0 cos𝛼 2 + 𝑣 0 sin𝛼−𝑔𝑡 2 . polohový vektor 𝑟 𝑡 =𝑥 𝑡 𝑖 +𝑦 𝑡 𝑗 súradnice polohového vektora 𝑥 𝑡 =𝑣 0 t cos𝛼, 𝑦 𝑡 = 𝑣 0 t sin𝛼− 1 2 𝑔 𝑡 2 . Ak si z rovnice pre 𝑥 𝑡 vyjadríme čas 𝑡= 𝑥 𝑡 𝑣 0 cos 𝛼 a dosadíme ho do 𝑦 𝑡 , potom platí 𝑦 𝑡 = 𝑣 0 𝑥 𝑡 𝑣 0 cos 𝛼 sin𝛼− 1 2 𝑔 𝑥 𝑡 𝑣 0 cos 𝛼 2 . Po úprave 𝑦 𝑡 = tg 𝛼 𝑥 𝑡 − 𝑔 2 𝑣 0 cos 𝛼 2 𝑥 𝑡 2 . ⟹ HB sa pohybuje po parabole.

   v bode A - HB kulminuje vektor okamžitej rýchlosti je súhlasne rovnobežný s osou x, 𝑣 𝑦 𝑡 =0. čas kulminácie 𝑡 v = 𝑣 0 sin𝛼 𝑔 . po dosadení 𝑡 v do rovnice pre 𝑦 𝑡 dostaneme: maximálnu výšku výstupu ℎ v = 𝑣 0 sin𝛼 2 2𝑔 , po dosadení 2. 𝑡 v do rovnice pre 𝑥 𝑡 dostaneme maximálny dolet 𝑥 𝐷 = 𝑣 0 2 𝑠𝑖𝑛2𝛼 𝑔 . rýchlosť dopadu má rovnakú veľkosť ako rýchlosť vrhu.

(počiatočná rýchlosť je pod uhlom 𝛽 vzhľadom na os 𝑥) Šikmý vrh nadol ak by sme vrhali hmotný bod z bodu B pod uhlom 𝛽 (počiatočná rýchlosť je pod uhlom 𝛽 vzhľadom na os 𝑥) 𝑣 0 𝑦 𝑥 ℎ 𝑣 0𝑥 𝑣 0𝑦 𝑥 D 𝑣 𝑦 𝑣 1 𝛾 𝛽

zložený pohyb: - rovnomerný pohyb rýchlosťou 𝑣 0𝑥 vo vodorovnom smere, - zvislý vrh nadol s počiatočnou rýchlosťou 𝑣 0𝑦 . vektor rýchlosti 𝑣 𝑡 = 𝑣 𝑥 𝑖 + 𝑣 𝑦 𝑡 𝑗 : súradnice vektora rýchlosti 𝑣 𝑥 =𝑣 0 cos𝛽, 𝑣 𝑦 𝑡 = 𝑣 0 sin𝛽+𝑔𝑡 . polohový vektor 𝑟 𝑡 =𝑥 𝑡 𝑖 +𝑦 𝑡 𝑗 : súradnice polohového vektora 𝑥 𝑡 =𝑣 0 t cos𝛽, 𝑦 𝑡 =ℎ− 𝑣 0 t sin𝛽+ 1 2 𝑔 𝑡 2 . maximálny dolet 𝑥 D vypočítame z podmienky 𝑦 𝑡 =0. Z tejto podmienky vypočítame čas dopadu 𝑡 D , ktorý potom dosadíme do rovnice pre 𝑥 𝑡 .