Rozdelenia pravdepodobnosti náhodnej veličiny

Niektoré rozdelenia diskrétnej NV Alternatívne rozdelenie Binomické rozdelenie Poissonovo rozdelenie Hypergeometrické rozdelenie

Niektoré rozdelenia spojitej NV Normálne rozdelenie Normované normálne rozdelenie Rovnomerné rozdelenie Exponenciálne rozdelenie Weibullovo rozdelenie Gama rozdelenie

Výberové rozdelenia NV Majú mimoriadny význam pri analýze štatistických údajov, získaných náhodným výberom Sú úzko spojené s normálnym rozdelením Chí - kvadrát rozdelenie Studentovo (t – rozdelenie) F- rozdelenie

Alternatívne rozdelenie A(p) Náhodná premenná x má alternatívne rozdelenie s parametrom 0 < p < 1, ak nadobúda len dve hodnoty x = 1 a x = 0, s pravdepodobnosťami a Stredná hodnota x 1 p(x) 1-p p

Rozptyl náhodnej veličiny z alternatívneho rozdelenia Nazýva sa nula – jednotkové rozdelenie V praxi sa používa pri popise výskytu určitého javu Je zvláštnym prípadom binomického rozdelenia pre n=1

Príklad alternatívneho rozdelenia Z dodávky obsahujúcej 10% nekvalitných výrobkov odoberieme jeden. Aká je pravdepodobnosť že to bude nekvalitný výrobok? P(1)=p=0,10 P(0)=q=1-p=1-0,10=0,90

Binomické rozdelenie Bi(n,p) Rozdelenie súčtu n vzájomne nezávislých náhodných veličín, riadiacich sa alternatívnym rozdelením Pokusy, v ktorých výsledok neovplyvní pravdepodobnosť výsledkov iných pokusov Jav A môže nastať s pravdepodobnosťou p, a nenastane s pravdepodobnosťou q=1-p Pravdepodobnosť, že sa jav A objaví práve k- krát v n opakovaných pokusoch

Hodnoty n a p sú parametre binomického rozdelenia tj Hodnoty n a p sú parametre binomického rozdelenia tj. veličiny, ktoré musíme poznať, aby sme mohli ľubovoľnej náhodnej veličine x priradiť jej pravdepodobnosť Stredná hodnota je súčet stredných hodnôt nezávislých náhodných veličín Rozptyl

Pravdepodobnostná funkcia binomického rozdelenia

Príklady binomického rozdelenia počet chybných výrobkov zistených vo výbere n výrobkov, pričom výrobok do dávky vraciame počet prípadov, pri ktorých sa prejavila účinnosť podaného prípravku, skúšaného na n objektoch

Nájdite pravdepodobnosť, že z piatich narodených detí budú štyri dievčatá (pravdepodobnosť narodenia oboch pohlaví je 50%)

Poissonove rozdelenie Po() Predpokladajme, že počet pokusov n je dostatočne veľký (n>30) a pravdepodobnosť p je veľmi malá (p < 0,1), potom môžeme binomické rozdelenie aproximovať Poissonovým rozdelením s parametrom =np Pravdepodobnostná funkcia Poissonovho rozdelenia

Riadi sa ním počet javov v priestore alebo počet udalostí v čase Označuje sa ako zákon vzácnych alebo zriedkavých javov Napr. počet výskytov vzácneho ochorenia, výskyt porúch zariadenia v čase t, a pod.

Stredná hodnota a rozptyl Pre strednú hodnotu a rozptyl náhodnej veličiny platí ich rovnosť, čo sa využíva pri testoch štatistických hypotéz

Príklady počet výskytov vzácneho ochorenia, výskyt porúch zariadenia v čase t, a pod. počet ťažkých dopravných nehôd v určitom meste za deň počet telefónnych výziev na určitom aparáte Pozn. Každá udalosť, ktorá sa vyskytuje na jednotke plochy (času, objemu a pod.)

Pravdepodobnostná funkcia

Hypergeometrické rozdelenie Predpokladajme, že v súbore N prvkov má M určitú vlastnosť A. Zo súboru náhodne vyberieme n prvkov, bez toho aby sme ich vrátili späť do pôvodného súboru (výber bez vrátenia). Počet prvkov s vlastnosťou A, ktoré boli vybrané do výberu je náhodná premenná x, ktorá môže nadobúdať hodnoty

Ak je rozsah výberu príliš malý, vzhľadom na rozsah základného súboru n/N<0,1, je možné hypergeometrické rozdelenie úspešne nahradiť binomickým rozdelením s parametrami n a p=M/N Hypergeometrické rozdelenie sa používa v štatistickej kontrole kvality

Stredná hodnota a variancia

a, b a, b, c a,b a.b Typ rozdelenia Parametre E(X) D(X) Hustota pravdepodobnosti Distribučná funkcia Rovnomerné a, b Exponenciálne Weibullovo a, b, c Gama a,b a.b

Rovnomerné rozdelenie Rovnomerným rozdelením sa riadia náhodné veličiny, ktoré majú rovnakú možnosť nadobudnúť akúkoľvek hodnotu z nejakého konečného intervalu

Chí - kvadrát rozdelenie 2(v) Ak sú u1,u2,...u3 nezávislé náhodné veličiny, z normovaného rozdelenia N(0,1), potom ich súčet štvorcov je veličina ktorá má chí kvadrát rozdelenie s v stupňami voľnosti Počet stupňov voľnosti je daný počtom nezávislých sčítancov a je jediným parametrom rozdelenia Má rozsiahle použitie v teórii odhadu, testovaní štatistických hypotéz, pri overovaní nezávislosti javov, ...

Studentovo rozdelenie (t-rozdelenie) Nech u a z sú nezávislé náhodné velčiny, z ktorých u má rozdelenie N(0,1) a z má chí kvadrát rozdelenie s v stupňami voľnosti Náhodná veličina t má Studentove rozdelenie s v stupňami voľnosti Počet stupňov voľnosti je jediný parameter tohto rozdelenia. Stretávame sa s ním v teórii odhadu, pri testoch štatistických hypotéz a pod.. :

F – rozdelenie (Snedecorove-Fisherove) Ak uvažujeme dve nezávislé náhodné veličiny 12 a 22 s chí-kvadrát rozdelenia potom náhodná veličina má F - rozdelenie s v1 a v2 stupňami voľnosti, čo sú zároveň aj dva parametre tohto rozdelenia Aplikácia: testy hypotéz, ANOVA , ...