Škvarka, Moravčík.

Prezentácia na tému: "Škvarka, Moravčík."— Prepis prezentácie:

1 Škvarka, Moravčík

2 Pytagoras Jakub Moravčík Peter Škvarka V Banskej Bystrici 2008

3 Obsah Úvod Kapitoly Pytagoras Spolok Pytagorejcov Pytagorova veta Záver Podkapitoly Pytagoras: Životopis Pytagorova veta: Zovšeobecnenie Pytagorovej vety Dôkazy Pytagorovej vety

4 Úvod Tento projekt sme si vybrali z podobného dôvodu ako aj štúdium na gymnáziu Jozefa Gregora Tajovského. Zaujímajú nás prírodné vedy najmä matematika, ktorá je podľa nás veľmi dôležitá a zaujímavá. V budúcnosti by sme sa chceli matematike venovať aj na vysokej škole a z toho dôvodu sme si vybrali projektovú tému „ Matematici a ich vynálezy“. Tento projekt sme si vybrali taktiež preto, aby sme si zdokonalili naše vedomosti v oblasti matematiky a dozvedeli sa niečo zaujímavé o živote, práci a vynálezoch slávnych matematikov, ktorý svojimi objavmi zmenili vtedajší svet, uľahčili život nastupujúcim generáciám a umožnili vývoju ďalší krok vpred. Cieľom našej práce je priblížiť vám kúsok zo života Pytagora, objasniť vám jeho matematickú prácu a význam jeho matematických výsledkov a objavov. Tohto významného matematika sme si vybrali najmä preto, lebo podľa nás do matematiky vniesol niečo nové a veľmi významné, niečo bez čoho si dnes matematiku nevieme ani len predstaviť. Matematika je veľmi zložitá veda, ktorá má mnoho zákutí a stále je čo objavovať. Slávni matematici ako Pytagoras našli kľúč k riešeniam od týchto matematických zákutí a vniesli do matematiky a tým pádom aj do bežného života veľa svetla za čo im patrí večná sláva a náš obdiv. Práve preto sme si vybrali tohto matematika ako hlavnú tému nášho projektu a venovali svoj čas štúdiu o ňom.

5 Pytagoras Životopis Pytagoras alebo Pythagoras zo Samosu (asi 580 pred Kr. - asi 572 pred Kr. až 496 pred Kr.) je hádam najznámejším gréckym matematikom. Napriek jeho genialite a nenahraditeľnosti v dejinách ľudstva o ňom nevieme veľa. O jeho živote sa nezachovali skoro žiadne listiny alebo spisy a tak sa o ňom dozvedáme len z rozprávania starovekých antických filozofov alebo z nekonečného množstva legiend, ktoré o tomto geniálnom matematikovi kolujú dodnes. Pokiaľ ide o Pytagorovu osobnosť, je zahrnutá, ako sme už spomenuli, nánosom legiend. Narodil sa v rodine rytca kameňa na gréckom ostrove Samos, kde vtedy prekvital obchod, vedy a umenie. V dospelosti veľa cestoval, najmä po východných krajinách a dostal sa možno až do Indie. Potom sa usadil v gréckom meste Krotón sa Sicílii, kde založil svoju filozofickú školu. Bola to však skôr sekta, uzatvorená spoločnosť s prísnymi pravidlami, ktorá dodržiavala najrôznejšie rituály. Pytagoras, údajne urastený muž majestátneho vzhľadu, sa tu prechádzal v dlhom bielom rúchu a bol uctievaný ako poloboh. Nakoniec počas politických nepokojov v meste bola väčšina príslušníkov sekty zabitá a Pytagoras utiekol do blízkeho Metapontu, kde onedlho zomrel. Sám nezanechal žiadne spisy, ale jeho učenie podrobne zaznamenali a ďalej rozvinuli jeho žiaci. Aj keď učenie Pytagora a jeho školy bolo v mnohom fantastické, je v ňom očarenie nad matematickou krásou sveta a silne ovplyvnilo neskorších filozofov a bádateľov – Platóna, Aristotela, Koperníka i Keplera.

6 Pytagorejci Spolok Pytagorejcov
Prvá matematická symbolika, ktorá obsahovala niečo, čo pripomína pojem neznámej, pochádza od Pytagorejcov. Pytagorejci zobrazovali čísla pomocou bodiek, ktoré zoskupovali do geometrických útvarov. Takto vytvorili tzv. figurálne čísla : trojuholníkové čísla (1, 3, 6,...), štvorcové čísla (1, 4, 9,...) a pod. Tento geometrický jazyk im umožňoval dokázať tvrdenia, ktoré dnes väčšinou zapisujeme algebraicky, napríklad, že súčet dvoch po sebe idúcich trojuholníkových čísel je číslo štvorcové. Jedným z objavov, pripisovaných samotnému Pytagorovi je Pytagorova veta, podľa ktorej v pravouhlom trojuholníku je súčet štvorcov nad odvesnami rovný štvorcu nad preponou. Teoretický význam tejto vety spočíva v tom, že ukazuje, že čísla determinujú tvar. Teda to, či je trojuholník ostrouhlý, tupouhlý alebo pravouhlý, je dané vzťahom medzi číslami, udávajúcimi dĺžky jeho strán. Pytagoras objavil podobnú číselnú zákonitosť aj pri hudbe, kde zas zvuk strún znie harmonicky, keď sú závažia ktoré napínajú struny, v celočíselných pomeroch. Teda čísla determinujú hudobnú harmóniu. Odtiaľto už nie je ďaleko k hlavnej téze pytagorejskej filozofie, že totiž svet je harmóniou protikladov, vyjadrených pomocou čísiel. Snáď najvýznamnejším objavom pytagorejcov je objav nesúmerateľnosti strany a uhlopriečky štvorca. Je to vlastne prvý príklad dôkazu sporom a ukazuje, že pytagorejci sa v chápaní matematiky posúvajú od nazerania k dedukcii. Grécke slovo pre dokazovať deiknumi znamená ako ukazovať tak aj dokazovať.

7 Historici matematiky vo všeobecnosti uznávajú, že prvé dôkazy, ktoré pytagorejci robili pomocou svojich figurálnych čísel, spočívali v tom, že ukázali, že príslušné tvrdenie je pravdivé, že jeho pravdivosť priviedli pred oči. Ale nesúmerateľnosť sa nedá ukázať, to nie je fakt, ktorý by sa dal priviesť k názoru. Ľubovolné dve úsečky nakreslené na papieri sú súmerateľné, lebo každá z nich obsahuje celočíselný počet atómov uhlíka. Inak povedané, každý názor má svoju rozlišovaciu schopnosť, ale na objavenie nesúmerateľnosti potrebujeme absolútnu rozlišovaciu silu, akú má jedine rozum. Teda nesúmerateľnosť nie je pravdou zmyslov, ale pravdou rozumu. Žiadna civilizácia pred Grékmi nič podobného nepoznala. Gréci sú prví, ktorí opúšťajú svet zmyslov a objavujú vedľa tohto sveta iný, neviditeľný svet matematických právd. Pomocou zmyslov by sa nikdy nič podobného nepodarilo objaviť. Preto Gréci zavádzajú rozlíšenie, ktoré nemá obdoby v žiadnom inom jazyku - gréčtina má dva pojmy pre pravdu. Na jednej strane je pravda zmyslov, doza prekladaná ako zdanie, mienka predstava, a oproti nej stojí pravda rozumu, episthmh prekladaná ako vedenie, znalosť. Nesúmerateľnosť je teda príkladom episthmh, jedným z vôbec najčistejších príkladov tohto pojmu. Napriek tomu, že objav nesúmerateľnosti predstavoval veľký úspech pytagorejskej matematiky, priniesol aj jej hlbokú krízu. Ukázal, že už tak jednoduchú vec ako je pomer strany a uhlopriečky vo štvorci nie je možné vyjadriť pomocou čísel. Teda čísla sú nevhodné ako základ matematiky. Preto bolo treba vybudovať úplne iné základy matematiky, a všetky dôkazy, ktoré pytagorejci robili pomocou svojich figurálnych čísel, prerobiť tak, aby platili aj pre prípad nesúmerateľných veličín. Tejto úlohy sa ujal Eudoxos z Knidu, a vytvoril teóriu proporcií.

8 Pytagorova veta Pytagorova veta je základná teoréma euklidovskej geometrie. Popisuje vzťah, ktorý platí medzi dĺžkami strán pravouhlého trojuholníka v rovine. Umožňuje jednoducho vypočítať dĺžku tretej strany trojuholníka, ak sú známe dĺžky jeho dvoch zvyšných strán. Slovne sa veta dá formulovať takto: obsah štvorca zostrojeného nad preponou (najdlhšou stranou) pravouhlého trojuholníka je rovný súčtu obsahov štvorcov zostrojených nad jeho odvesnami. Formálne možno Pytagorovu vetu vyjadriť rovnicou a2 + b2 = c2, kde a, b sú dĺžky odvesien a c je dĺžka prepony pravouhlého trojuholníka.Pytagorova veta je pomenovaná podľa starogréckeho matematika Pythagora zo Samosu.

9 Zovšeobecnenie Pytagorovej vety
Zovšeobecnenie Pytagorovej vety. Nahradenie štvorcov inými plošnými obrazcami Štvorce je možné vo formulácii vety nahradiť akýmikoľvek inými plošnými útvarmi (kružnicou, trojuholníkom, päťuholníkom a pod.) za predpokladu, že sú si navzájom podobné a ich šírka je priamo úmerná dĺžke príslušnej strany trojuholníka. Súčet obsahov týchto obrazcov nad odvesnami bude opäť rovný obsahu obrazca zostrojeného nad preponou. Fakt, že to vyplýva už z formulácie pôvodnej vety so štvorcami nad stranami trojuholníka, je možné si uvedomiť vtedy, ak sa vezme do úvahy, že obsah každého z obrazcov je vzhľadom na platnosť predpokladov úmerný obsahu štvorca nad danou stranou a konštanta úmernosti k je vždy rovnaká vďaka vzájomnej podobnosti obrazcov i štvorcov. Ak sa dosadí za plochu štvorcov do vzorca k-násobok plochy obrazca, potom bude možné rovnicu krátiť konštantou k a výsledkom bude hľadané zovšeobecnenie.

10 Zovšeobecnenie na tri všeobecné vektory v Hilbertovom priestore
Pytagorovu vetu je možné zovšeobecniť na ľubovolný vektorový priestor so skalárnym súčinom (t. j. Hilbertov priestor). Trojuholníkom sú v tomto prípade myslené tri vektory , , , pre ktoré platí: c = b-a , a je kolmé na b. Potom platí podobný vzťah normami týchto vektorov, ako v prípade rovinného trojuholníka: (a2 ) + (b2 ) = (c2 ) kde (.) je norma príslušného vektorového priestoru. Z tejto všeobecnejšej formulácie je možné odvodiť aj pôvodnú rovinnú verziu vety. Ak rovinu chápeme ako dvojrozmerný euklidovský priestor s obyčajným skalárnym súčinom a v trojuholníku ABC s pravým uhlom pri vrchole C označíme a = B-C, b = A-C, c = A-B, potom vyplýva pôvodná Pythagorova veta zo vzťahu noriem vektorov (treba si uvedomiť, že v tomto prípade je norma vektoru len dĺžkou zodpovedajúcej strany).

11 Dôkazy Pytagorovej vety
Dôkazov Pytagorovej vety jestvuje veľmi veľa, uvádza sa až viac ako 300. Tu sú uvedené len niektoré z nich. Dôkaz číslo 1 K dôkazu č. 1 – porovnanie obsahov štvorcov zložených dvomi spôsobmi. Ide o grafický dôkaz. Štvorec so stranou a + b je možné zložiť dvomi spôsobmi (pozri obrázok): zo štyroch pravouhlých trojuholníkov a dvoch štvorcov so stranami a a b zo štyroch pravouhlých trojuholníkov a jedného štvorca so stranou c. Z rovnosti obsahov štvorca pri oboch spôsoboch zloženia vyplýva platnosť Pytagorovej vety.

12 Dôkaz číslo 2: Ide v podstate o zápis prvého dôkazu pomocou
rovníc.Obsah celého štvorca je možné vyjadriť dvomi spôsobmi: 8 Strana štvorca je zložená zo strán trojuholníka a a b. Pre jeho obsah teda platí: S = (a + b)(a + b) = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. Štvorec je tvorený štyrmi modrými pravouhlými trojuholníkmi a bielym štvorcom uprostred so stranou c. Obsah celého štvorca je teda súčtom obsahov štyroch pravouhlých trojuholníkov () a bieleho štvorca so stranou c (c2). Obsah celého obrazca je daný vzorcom S = 2ab + c2. Pretože ide v oboch prípadoch o ten istý štvorec, musí sa jeho obsah spočítaný obidvomi spôsobmi rovnať. Preto platí a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2 a po úprave dostaneme Pytagorovu vetu v známom tvare a2 + b2 = c2.

13 K dôkazu číslo 3 – podobnosť trojuholníkov
Je možné sa jednoducho presvedčiť, že ak sú zelenou farbou vyznačené uhly (DCB a DAC, ktorý sa rovná uhlu BAC) zhodné, potom sú si trojuholníky navzájom podobné (veľkosti ich strán sú v rovnakom pomere a ich uhly sú zhodné).Dôkaz podobnosti (rovnosti uhlov) Súčet vnútorných uhlov každého trojuholníka je 180° (π rad). Zároveň platí, že v pravouhlom trojuholníku musí byť práve jeden uhol pravý (t. j. 90°; pozri obrázok): /BAC/ + /ACB/ + /CBA/ = 180 /CBD/ + /BCD/ + /DCB/ = 180 /DAC/ + /ACD/ + /CDA/ = 180 z uvedeného vyplýva, že /BAC/ + /CBA/ =90 /CBD/ + /DCB/ =90 /DAC/ + /ACD/ =90 Z 1. a 3. rovnice vyplýva (uhly BAC a DAC sú zhodné), že platí |CBA| = |ACD|. Ak CBA dosadíme do 3. rovnice na miesto ACD, z porovnania s 2. rovnicou vyplynie, že platí |BCD| = |DAC|. Trojuholníky sú si teda podobné. Samotný dôkaz :Skrátene je popísaný už v samotnom obrázku. Z obrázka vyplýva, že c = p + q, čo po dosadení dá: a2 + b2 = c2.

14 Záver V tomto projekte sme sa snažili objasniť vám fakty o jednom z najznámejších a zároveň aj najvýznamnejších matematikov akých kedy svet poznal, Pytagora. Snažili sme sa podrobne vám opísať jeho život spojený s matematikou, jeho prácu a jeho význam pre svet. Taktiež sme sa snažili vysvetliť a na príkladoch aj dokázať pravdivosť a význam Pytagorovej vety, pretože Pytagorova veta je aj dnes neodmysliteľnou súčasťou praktického života. Pytagorova veta našla využitie v najrozmanitejších oblastiach vedy a techniky. Architektúra, stavebníctvo, konštrukčná aj výpočtová geometria, to je len zlomok možností jej využitia. Možno ani sám Pytagoras vo svojej dobe nevedel aký významný objav pre súčasný svet vytvoril. Tento projekt dal aj nám nový pohľad na Pytagorovu prácu a pochopili sme, akú geniálnu vec vytvoril. Myslíme si, že tento projekt nebol stratou času a že bol príjemným rozšírením našich ale aj vašich vedomostí v oblasti matematiky. Ďakujeme za vašu pozornosť.