Diferenciálne rovnice

Prezentácia na tému: "Diferenciálne rovnice"— Prepis prezentácie:

1 Diferenciálne rovnice
Základný kameň jazyka prírody Ing. Milan Kertész, PhD.

2 Čo sú to matematické Derivácie?
Matematická derivácia definuje citlivosť zmeny hodnoty funkcie vzhľadom na zmenu jej argumentu. Teda, derivácia popisuje „tempo“ zmeny funkcie vzhľadom na zmenu istej premennej. Je definovaná ako: 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 𝛥𝑥→0 𝑓 𝑥+𝛥𝑥 −𝑓 𝑥 𝛥𝑥 Má rôzne formy zápisu: Jednoduchý príklad: Poloha – Rýchlosť – Zrýchlenie ⅆ𝑓 ⅆ𝑥 𝑓 ′ 𝐷𝑓 𝑓 Leibniz Lagrange Euler Newton

3 Čo sú to Diferenciálne rovnice?
Boli objavené Newtonom a Leibnizom v 17. storočí. Sú to rovnice, ktoré popisujú vzťahy medzi funkciami a ich deriváciami. Je to matematický aparát, ktorý popisuje ľubovoľný systém, ktorý sa mení v čase a/alebo priestore na základe určitých pravidiel. Pričom priestor je myslený v širšom slova zmysle. Riešením DR nie je číslo, ale funkcia, resp. typ funkcie. Na získanie konkrétnej funkcie je nutné aplikovať počiatočné, resp. okrajové podmienky. Vzájomne previazané diferenciálne rovnice tvoria tzv. systémy diferenciálnych rovníc a uplatňujú sa vo väčšine vedeckých a technických odvetví. Ak ide o správanie sa v čase, využívame termín dynamika. Je možné badať, že rôzne javy z odlišných oblastí vedy a techniky sú popísané prakticky totožnými alebo veľmi podobnými rovnicami a je možné hľadať analógie medzi jednotlivými oblasťami.

4 Mechanika – hmota na pružine
Mechanický oscilátor. Pohybová rovnica bez tlmenia podľa II. Newtonovho zákona: Riešenie rovnice má tvar: Keďže rovnica má dve neznáme, potrebujeme 2 počiatočné podmienky, napr.: V tom prípade je výsledná rovnica rovná: 𝑚 𝑧 = 𝑖 𝑛 𝐹 𝑖 =−𝑘𝑧 𝑧 + 𝑘 𝑚 𝑧=0 𝑧 + 𝜔 0 2 𝑧=0 𝑧=𝑍 𝑐𝑜𝑠 𝜔 0 𝑡+𝜑 𝑧 0 =𝐴 𝑧 0 =0 𝑧=𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝜔 0 𝑡

5 Break: Pozornosť študentov
Vzťah medzi pozornosťou poslucháčov a časom

6 Mechanika – Dynamika podvozku vozidla
Viazaný mechanický systém. Dynamická analýza podvozku vozidla je nevyhnutnou súčasťou fázy jeho návrhu. Správne navrhnuté parametre podvozku sú životne dôležité pre jazdnú bezpečnosť a jazdný komfort vozidla. Matematický popis problému umožňuje podstatne zrýchliť a zlacniť vývoj a eliminovať metódu pokus-omyl. Výsledkom analýzy sú zaťaženia pôsobiace na pasažierov a strojné súčasti. V súhre s tzv. metódou konečných prvkov je následne možné dimenzovať strojné súčasti. Obdobná metodika sa využíva aj na analýzu iných častí vozidiel, ako napr. na pohonnú sústavu, aktívne prvky vozidla a podobne.

7 Termomechanika – Vedenie tepla
Vedenie tepla je popísané parciálnou diferenciálnou rovnicou odvodenou Josephom Fourierom na začiatku 19. storočia. Táto rovnica v rôznych podobách sa hojne využíva pri riešení technických problémov spojených so šírením tepla (pomocou metód FEM, FVM a i.), ako napr. výpočet chladnutia odliatkov, šírenie tepla v strojoch, výpočty v energetike atp. 𝜕𝑢 𝜕𝑡 =𝛼 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑥 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑦 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑧 2 𝑢 =𝛼 𝛻 2 𝑢=𝛼∆𝑢 “Zmena teploty = Teplotná vodivosť * Priestorové zrýchlenie teploty” youtu.be/ArghRedBeard

8 Mechanika tekutín – Navier-stokesove rovnice
Popisujú pohyb viskóznej tekutiny (plyn, kvapalina). Majú viacero znení, podľa použitého modelu tekutiny. Všeobecný tvar NS rovníc v karteziánskych súradniciach: Plus rovnica kontinuity: Tieto rovnice sú v reálnych situáciách príliš náročné na analytické riešenie a využívajú sa v konjunkcií s rôznymi diskretizačnými a numerickými metódami na riešenie technických a vedeckých problémov. Významnou komplikáciou modelu býva turbulenčný model. Lokálne zrýchlenie Konvektívne zrýchlenie Tlakový gradient Viskozitné členy Silový člen Zmena hustoty Celkový hmotnostný vtok elementu

9 Break: Dunning-Krugerov efekt
Popisuje vzťah medzi znalosťami a sebadôverou. Kruger, Justin; Dunning, David (1999). "Unskilled and Unaware of It: How Difficulties in Recognizing One's Own Incompetence Lead to Inflated Self-Assessments"

10 Kvantová fyzika – Schrödingerova rovnica
Analógia II. Newtonovho zákona v kvantovej mechanike, kde stav kvantovomechanického systému je popísaný tzv. vlnovou funkciou. Vlnová funkcia definuje komplexnú pravdepodobnosť výskytu častice, ktorá má práve vlnový charakter. Schrödingerova rovnica vysvetľuje tzv. Youngov pokus, známy tiež ako dvojštrbinový experiment, kde vyniká vlnová povaha častíc. E. Schrödinger ju má napísanú aj na hrobe ako epitaf. ⅈℏ 𝛹 =𝐻𝛹 “Imag. jednotka * Reduk. Planckova konšt. * Zmena vln. funkcie = Energetický operátor * Vlnová funkcia”

11 Ekonómia – SOLOw-swanove rovnice Ekonomického rastu
Tieto rovnice popisujú model dlhodobého ekonomického rastu v rámci neoklasickej ekonómie. Ide o pomerne komplikovaný systém rovníc. Kľúčovou rovnicou je najmä rovnica popisujúca dynamiku kapitálovej intenzity, ktorá je tiež nazývaná ako zákon pohybu kapitálu: Tento model má mnoho úprav a vylepšení, keďže uvažuje uzatvorenú ekonomiku. 𝑘 𝑡 =𝑠𝑘 𝑡 𝛼 − 𝑛+𝑔+𝛿 𝑘 𝑡 “Zmena kapitálu = Investovaný kapitál – Opotrebený kapitál”

12 biológia – lotka-Volterrove rovnice
Tiež známe ako rovnice „predátor-korisť“. Popisujú dynamiku biologického systému s dvomi interagujúcimi živočíšnymi druhmi – predátorom a korisťou. Existuje veľké množstvo ďalších a detailnejších modelov popisujúcich dynamiku biologických systémov s uvažovaním viacerých vplyvov, interakcií a podobne. DOI: /stem.2508 𝑥 =𝛼𝑥−𝛽𝑥𝑦 𝑦 =𝛿𝑥𝑦−𝛾𝑦 x – Korisť y – Predátor

13 Break: Chémia – Oscilujúca reakcia Belousov-Žabotinský
Chemický oscilátor. Ide o veľmi komplikovanú periodicky sa opakujúcu chemickú reakciu, v ktorej sa vznikajúci koncentračný gradient pohybuje v priestore a vytvára vlnové obrazce. Belousovovi odmietali vydať článok publikujúci túto reakciu s tým, že je to nemožné. Až neskôr na základe práce Žabotinského sa podarilo článok publikujúci túto reakciu vydať v serióznom časopise. DOI: /ed061p661 Tento oscilujúci dej je popísateľný diferenciálnou rovnicou. Ukážka reakcie. youtu.be/Tim Kench

14 sociológia – Hernesov sobášny model
Diferenciálna rovnica popisujúca dynamiku sobášnosti (vývoj početnosti manželstiev) v určitej vekovej skupine obyvateľstva. DOI / Ako i v iných prípadoch, i tento model patrí medzi tie jednoduchšie a je možné nájsť pokročilejšie a presnejšie modely. 𝑃 𝑡 =𝐴 𝑏 𝑡 1− 𝑃 𝑡 𝑃 𝑡 “Nárast zosobášených = Poč. atraktivita * Chátranie vekom * Počet slobodných * Spoločenský tlak”

15 Vojenstvo – Lanchesterove rovnice vojny
Nazývané tiež aj Lanchesterove zákony. Popisujú dynamiku bojových strát v čase. Existujú 2 zákl. typy: Lineárne Lanchesterove rovnice – Kontaktný boj Kvadratické Lanchesterove rovnice – Boj na diaľku Lanchesterove rovnice uvažujú viaceré zásadné zjednodušenia a v súčasnosti sa využívajú aj pokročilejšie metódy na modelovanie dynamiky boja. 𝐴 =−𝛽𝐴𝐵 𝐵 =−𝛼𝐴𝐵 J. H. Engel: A Verification of Lanchester's Law (1954) A – Veľkosť armády A B – Veľkosť armády B 𝐴 =−𝛽𝐵 𝐵 =−𝛼𝐴

16 Break: Chémia – Oscilujúca reakcia Briggs-Rauscher
Chemický oscilátor, nazývaný aj „chemické hodiny“. Podobná komplikovaná chemická reakcia ako Belousov- Žabotinský. Pri Briggs-Rauscher sa však periodicky jasne menia farby reagujúceho roztoku. Tento oscilujúci dej je popísateľný diferenciálnou rovnicou. Ukážka reakcie. youtu.be/NileRed

17 Diskusia