Dynamika hmotného bodu (HB)

Prezentácia na tému: "Dynamika hmotného bodu (HB)"— Prepis prezentácie:

1 Dynamika hmotného bodu (HB)

2 Newtonove pohybové zákony
Dynamika – skúma príčiny pohybu a aký bude pohyb, ak je známa príčina. príčina - vzájomné pôsobenie telies – sila Prvý Newtonov zákon (zákon zotrvačnosti) Teleso zotrváva v pokoji alebo v rovnomernom priamočiarom pohybe, kým nie je nútené vonkajšími silami tento stav zmeniť. nemôžeme ho priamo overiť, je výsledkom zovšeobecnenia pozorovaní potvrdzujúcich jeho platnosť  inerciálne sústavy – vzhľadom na seba sú v pokoji, alebo v rovnomernom priamočiarom pohybe

3 Druhý Newtonov zákon (princíp sily)
Sila 𝐹 je priamo úmerná súčinu hmotnosti telesa 𝑚 a zrýchlenia 𝑎 , ktoré táto sila vyvoláva. 𝐹 =𝑚 𝑎 Jednotky: sila – 1N (Newton) hmotnosť – 1kg zrýchlenie – 1 ms-2 princíp nezávislosti síl: Ak na HB pôsobí súčasne niekoľko síl, potom výsledné zrýchlenie HB sa rovná vektorovému súčtu zrýchlení, ktoré by tomuto bodu udelili tieto sily samostatne. 𝑎 = 𝑎 i = 𝐹 i 𝑚 = 𝐹 i 𝑚 ⟹ 𝐹 = 𝐹 i =𝑚 𝑎 hybnosť - 𝑝 - dynamická miera pohybu, 𝑝 =𝑚 𝑣 - jednotka - kgms-1 = Ns.

4 𝑑 𝑝 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑑𝑡 𝑚 𝑣 = 𝑑𝑚 𝑑𝑡 𝑣 +𝑚 𝑑 𝑣 𝑑𝑡
Zmenu pohybového stavu môžeme vyjadriť: 𝑑 𝑝 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑑𝑡 𝑚 𝑣 = 𝑑𝑚 𝑑𝑡 𝑣 +𝑚 𝑑 𝑣 𝑑𝑡 v špeciálnom prípade: ak 𝑚= konšt. ⟹ 𝑑 𝑝 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑑𝑡 𝑚 𝑣 =𝑚 𝑑 𝑣 𝑑𝑡 =𝑚 𝑎 . Vo všeobecnosti matematicky vyjadrený 2.Newtonov zákon: 𝐹 = 𝑑 𝑝 𝑑𝑡 Časová zmena hybnosti hmotného bodu je priamo úmerná vonkajšej sile, ktorá na hmotný bod pôsobí. Ak 𝐹 predstavuje výslednú silu pôsobiacu na hmotný bod, potom rovnicu 𝐹 = 𝑑 𝑝 𝑑𝑡 nazývame pohybovou rovnicou, pretože z nej vieme vypočítať 𝑎 , 𝑣 , 𝑟 𝑎,𝑣,𝑠 a teda vieme určiť pohyb hmotného bodu.

5 Tretí Newtonov zákon (princíp akcie a reakcie)
Sily, ktorými na seba pôsobia dve telesá, sú rovnako veľké opačného smeru. Platí: 𝐹 21 =− 𝐹 12 , sily ležia na jednej vektorovej priamke, majú rovnakú veľkosť a opačný smer, sily akcie a reakcie pôsobia vždy na rôzne telesá a preto sa nemôžu navzájom rušiť.

6 Časový a dráhový účinok sily
Pohybovú rovnicu 𝐹 = 𝑑 𝑝 𝑑𝑡 vynásobíme 𝑑𝑡 a integrujeme, potom dostaneme novú fyzikálnu veličinu Impulz sily 𝑰 = časový účinok sily (kgms-1) 𝐼 = 0 𝑡 𝐹 𝑑𝑡 = 0 𝑡 𝑑 𝑝 𝑑𝑡 𝑑𝑡 = 𝑝 𝑝 1 𝑑𝑝 = 𝑝 1 − 𝑝 0 =∆ 𝑝 =𝑚 𝑣 1 − 𝑣 0 Výslednú silu pôsobiacu na hmotný bod 𝐹 vynásobíme skalárne elementárnym vektorovým posunutím 𝑑 𝑟 a integrujeme, potom dostaneme novú fyzikálnu veličinu Práca = dráhový účinok sily (J = Nm = kgm-2s-2) 𝑊= 𝑟 𝑟 1 𝐹 .𝑑 𝑟

7 𝐹 .𝑑 𝑟 =𝑚 𝑎 .𝑑 𝑟 =𝑚 𝑑 𝑣 𝑑𝑡 .𝑑 𝑟 =𝑚 𝑑 𝑟 𝑑𝑡 .𝑑 𝑣 =𝑚 𝑣 .𝑑 𝑣
V skalárnom tvare 𝑊= 𝐹𝑑𝑠 cos 𝛽 , 𝛽 je uhol ktorý zviera vektor sily 𝐹 s dráhou 𝑠 po ktorej sa hmotný bod pohybuje. - práca je maximálna ak 𝛽=0°, - práca je nulová ak 𝛽= 𝜋 2 . Poďme upraviť rovnicu 𝐹 .𝑑 𝑟 𝐹 .𝑑 𝑟 =𝑚 𝑎 .𝑑 𝑟 =𝑚 𝑑 𝑣 𝑑𝑡 .𝑑 𝑟 =𝑚 𝑑 𝑟 𝑑𝑡 .𝑑 𝑣 =𝑚 𝑣 .𝑑 𝑣 Potom, ak sila pôsobí na hmotný bod na dráhe s počiatočným polohovým vektorom 𝑟 𝑣 0 a koncovým polohovým vektorom 𝑟 𝑣 1 , tak pre prácu platí 𝑊= 𝑟 𝑟 1 𝐹 .𝑑 𝑟 = 𝑣 𝑣 1 𝑚 𝑣 .𝑑 𝑣 = 𝑣 0 𝑣 1 𝑚𝑣𝑑𝑣 = 1 2 𝑚 𝑣 − 1 2 𝑚 𝑣 0 2

8 Kinetická energia 𝐸 𝑘 HB hmotnosti 𝑚 pohybujúceho sa rýchlosťou 𝑣
𝐸 𝑘 = 1 2 𝑚 𝑣 2 Jednotka: 1J Veta o kinetickej energii: 𝑊= 1 2 𝑚 𝑣 − 1 2 𝑚 𝑣 = 𝐸 𝑘1 − 𝐸 𝑘0 =∆ 𝐸 𝑘 Priemerný výkon: 𝑃= Δ𝑊 Δ𝑡 jednotka 1W (watt) =1J s −1 =1kg m 2 s −3 Okamžitý výkon: 𝑃= 𝑑𝑊 𝑑𝑡 𝑑𝑊=𝐹𝑑𝑠→𝑃= 𝐹𝑑𝑠 𝑑𝑡 =𝐹𝑣

9 Potenciálna energia - 𝑬 𝒑
iná forma energie – ak silou pôsobíme proti inej vonkajšej sile (napr. častica vo vonkajšom silovom poli)  častica sa dostane do inej polohy v ktorej má určitú „skrytú“ formu energie (po uvoľnení z tejto polohy môže samovoľne konať prácu). Potenciálnu energiu je možné zaviesť iba v poli konzervatívnych síl. Konzervatívne silové pole – práca síl poľa nezávisí na tvare dráhy, iba od počiatočného a koncového bodu dráhy, pozdĺž ktorej sila pôsobí na HB. Práca nezávisí na dĺžke a tvare trajektórie HB  práca vykonaná pozdĺž uzavretej dráhy je nulová. Potenciálna energia – závisí od charakteristík HB, ale aj od vlastností silového poľa.

10 𝑬 𝒑 telesa v malej výške v gravitačnom poli Zeme
Zmena 𝐸 𝑝 HB pri jeho premiestnení z miesta 1 do miesta 2 v poli konzervatívnej sily: ∆ 𝐸 𝑝 =𝑊= 1 2 𝐹 .𝑑 𝑟 𝐸 𝑝 je určená s presnosťou na ľubovoľnú aditívnu konštantu. Elementárna zmena 𝐸 𝑝 : 𝑑𝐸 𝑝 =− 𝐹 .𝑑 𝑟 → 𝐹 =−grad 𝐸 𝑝 𝑬 𝒑 telesa v malej výške v gravitačnom poli Zeme Gravitačné pole = pole konzervatívnych síl - m, h1, h2,

11 Zákon zachovania mechanickej energie
𝑊=∆ 𝐸 𝑝 = 1 2 𝐹 .𝑑 𝑟 = 𝐹 . 𝑑 𝑟 cos 𝛼 = 1 2 𝑚𝑔𝑑𝑠 csc 𝛼 = 1 2 𝑚𝑔𝑑ℎ 𝑊=𝑚𝑔 ℎ 2 −𝑚𝑔 ℎ 1 Platí: 𝑑𝑠 cos 𝛼 =𝑑ℎ  pre EP v malej výške nad zemským povrchom platí: 𝐸 𝑝 =𝑚𝑔ℎ Zákon zachovania mechanickej energie Platí: −∆ 𝐸 𝑝 =𝑊, ∆ 𝐸 𝑘 =𝑊 kde −∆ 𝐸 𝑝 = 𝐸 𝑝1 − 𝐸 𝑝2 , ∆ 𝐸 𝑘 = 𝐸 𝑘2 − 𝐸 𝑘1 ⟹ 𝐸 𝑝1 − 𝐸 𝑝2 = 𝐸 𝑘2 − 𝐸 𝑘1 ⟹ 𝐸 𝑘1 + 𝐸 𝑝1 = 𝐸 𝑘2 + 𝐸 𝑝2 Celková mechanická energia E = súčet kinetickej a potenciálnej energie HB.

12 E - ak na HB pôsobia len konzervatívne sily, ostáva konštantná
 E (v poli konzervatívnych síl) = konšt. V poli konzervatívnych síl platí: 𝐸= 𝐸 𝑘 + 𝐸 𝑝 = konšt. -zákon zach. mechanickej energie.  zákon zach. energie: celková energia izolovanej sústavy (všetky vonkajšie pôsobenia na ňu sú nulové) je konštantná, rôzne formy energie sa však vo vnútri sústavy môžu vzájomne meniť jedna na druhú.